关于此实验
矩阵会将几乎所有向量移向新的方向。只有少数特殊方向上的向量只会被拉伸、缩短或翻转：这些方向就是特征向量，对应的伸缩倍数就是特征值。转动向量 v，观察它的像 Av；当两者方向一致时，你就找到了一个特征向量。比较对称矩阵、剪切、旋转和投影，并使用幂迭代观察反复进行矩阵乘法如何自动找到主特征向量。
学习目标
- 写出特征值方程 Av = λv，并从几何角度进行解释
- 根据特征多项式求 2×2 矩阵的特征值
- 将迹和行列式与特征值的和与积联系起来
- 识别具有复特征值、重特征值或缺陷特征值的矩阵
- 解释幂迭代为何会收敛到 |λ| 最大的特征向量
使用方法
- 1在对称矩阵示例中，拖动 v，直到 Av 指向相同的方向。读出 λ。找出第二个特征方向。它们之间的夹角是多少？
- 2按下 Sweep 旋转 v，并观察下方的条带。180° 内有几个零点交叉？它们分别在哪里？
- 3选择 Rotation。为什么没有任何方向能保持不变？查看复特征值。
- 4选择 Shear。有几个特征方向？查看判别式。
- 5选择 Not symmetric。特征向量仍然相互垂直吗？
- 6将 v 指向任意方向，然后多次按下 Power iteration step。v 会趋近于哪个特征向量？趋近速度有多快？
模型
假设
- 所有元素均为实数。特征向量以单位向量的形式显示；任何非零倍数也都是特征向量。
- 在判别式中，相差小于 10⁻⁹ 的两个特征值会被视为重根。重特征值对应一个特征方向（缺陷情形），除非 A 是单位矩阵的倍数。
- 探测向量 v 的长度始终为 1，因此 Av 的长度可以显示 A 对该方向的拉伸程度。
在课堂上试试这个实验
- Q1求 A = [[4, 1], [2, 3]] 的特征值和特征向量。
- Q2证明旋转角度不为 0° 或 180° 时，不存在实特征向量。
- Q3一个矩阵的迹为 5，行列式为 6。它的特征值是什么？
- Q4为什么对称矩阵的特征向量总是彼此垂直？
- Q5当 λ₂ / λ₁ 接近 1 时，幂迭代收敛缓慢。用矩阵 [[2, 0], [0, 1.9]] 验证这一点。
常见问题
负特征值意味着什么？
特征向量会翻转到相反方向，然后按 |λ| 倍缩放。反射的例子中，特征值为 1 和 -1：镜面线上的向量保持不变，与镜面线垂直的向量则会翻转。
特征向量有哪些用途？
凡是系统重复或振动的地方，都能看到它的身影：分子和桥梁的正常模态、微分方程中平衡点的稳定性、统计学中的主成分分析、量子态，以及早期的 PageRank 算法，它本质上是对网页链接矩阵进行幂迭代。
平面下方的条带显示了什么？
它针对 v 的每个方向绘制外积 v × Av；当且仅当 Av 与 v 平行时，该外积为零。每个与零的交点都对应一个特征方向。如果曲线始终不与零相交，就不存在实特征向量。