この実験について
行列はほとんどのベクトルを新しい方向へ動かします。伸びたり、縮んだり、反転したりするだけの特別な方向がいくつかあります。これが固有ベクトルで、その伸縮率が固有値です。ベクトル v を回転させ、その像 Av を観察しましょう。2つの向きがそろったとき、固有ベクトルが見つかります。対称行列、せん断、回転、射影を比較し、べき乗法を使って、行列を繰り返し掛けることで支配的な固有ベクトルが自動的に見つかる様子を確かめましょう。
学習目標
- 固有値方程式 Av = λv を示し、幾何学的に解釈する
- 特性多項式から 2×2 行列の固有値を求める
- トレースと行列式を固有値の和と積に関連づける
- 複素固有値、重複固有値、または欠陥固有値をもつ行列を見分ける
- べき乗法が最大の |λ| をもつ固有ベクトルに収束する理由を説明する
使い方
- 1対称行列の例で、Av が同じ向きを指すまで v をドラッグしましょう。λ を読み取ります。2つ目の固有方向を見つけましょう。2つの方向のなす角は何度ですか？
- 2v を回転させるには Sweep を押し、下の帯を見てください。180°の間にゼロ交差はいくつありますか？それはどこにありますか？
- 3Rotation を選択してください。なぜどの方向も固定されたままにならないのでしょうか？複素固有値を確認してください。
- 4Shear を選択してください。固有方向はいくつありますか？判別式を確認してください。
- 5Not symmetric を選択してください。固有ベクトルはそれでも直交していますか？
- 6v を任意の方向に向け、Power iteration step を数回押してください。v はどの固有ベクトルに近づきますか？また、その速さはどのくらいですか？
モデル
前提条件
- すべての成分は実数です。固有ベクトルは単位ベクトルとして表示されています。ゼロでない定数倍も固有ベクトルです。
- 判別式において差が 10⁻⁹ 未満の2つの固有値は、重根として扱われます。重根に対応する固有方向は1つです（欠陥行列）。ただし、A が単位行列の定数倍である場合を除きます。
- プローブベクトル v の長さは常に 1 なので、Av の長さから、A がその方向をどれだけ伸縮させるかがわかります。
授業で試してみましょう
- Q1A = [[4, 1], [2, 3]] の固有値と固有ベクトルを求めてください。
- Q20°または180°以外の角度の回転には、実固有ベクトルが存在しないことを示してください。
- Q3ある行列のトレースが5、行列式が6です。その固有値はいくつですか？
- Q4対称行列の固有ベクトルが常に垂直になるのはなぜですか？
- Q5λ₂ / λ₁ が1に近いと、べき乗法は収束が遅くなります。行列 [[2, 0], [0, 1.9]] でこれを確かめてください。
よくある質問
固有値が負であるとは、どういう意味ですか？
固有ベクトルは反対向きに反転され、その後 |λ| 倍に拡大・縮小されます。反射の例では、固有値は1と-1です。鏡の線上のベクトルはそのまま保たれ、それに垂直なベクトルは反転します。
固有ベクトルはどのような場面で使われますか？
システムが繰り返されたり振動したりするあらゆる場面に現れます。分子や橋の固有振動モード、微分方程式における平衡点の安定性、統計学の主成分分析、量子状態、そしてウェブのリンク行列に対するべき乗法である初期のPageRankアルゴリズムなどです。
平面の下の帯は何を示していますか？
vの各方向について、外積 v × Av をプロットしています。これは Av が v と平行なとき、そしてそのときに限りゼロになります。ゼロとの交点はそれぞれ固有方向です。曲線がゼロと交差しなければ、実固有ベクトルはありません。