Acerca de este experimento
Una matriz desplaza casi todos los vectores hacia una dirección nueva. Unas pocas direcciones especiales solo se estiran, se encogen o se invierten: son los autovectores, y los factores de estiramiento son los autovalores. Gira un vector v y observa su imagen Av; cuando ambos apuntan en la misma dirección, has encontrado un autovector. Compara matrices simétricas, cizallamientos, rotaciones y proyecciones, y utiliza la iteración de potencias para ver cómo las multiplicaciones repetidas encuentran por sí solas el autovector dominante.
Objetivos de aprendizaje
- Enuncia la ecuación de autovalores Av = λv e interprétala geométricamente
- Halla los autovalores de una matriz 2×2 a partir de su polinomio característico
- Relaciona la traza y el determinante con la suma y el producto de los autovalores
- Reconoce matrices con autovalores complejos, repetidos o defectivos
- Explica por qué la iteración de potencias converge al autovector cuyo |λ| es mayor
Cómo usarlo
- 1En el ejemplo simétrico, arrastra v hasta que Av apunte en la misma dirección. Lee λ. Encuentra la segunda dirección propia. ¿Qué ángulo forman?
- 2Pulsa «Barrido de v» y mueve v en distintas direcciones. Observa la franja de abajo. ¿Cuántos cruces por cero hay en 180° y dónde están?
- 3Selecciona «Rotación». ¿Por qué no puede mantenerse fija ninguna dirección? Lee los autovalores complejos.
- 4Selecciona «Cizallamiento». ¿Cuántas direcciones propias hay? Mira el discriminante.
- 5Selecciona «No simétrica». ¿Siguen siendo perpendiculares los autovectores?
- 6Orienta v en cualquier dirección y pulsa varias veces «Paso de iteración de potencia». ¿A qué autovector se aproxima v y a qué velocidad?
El modelo
Supuestos
- Todas las entradas son reales. Los autovectores se muestran como vectores unitarios; cualquier múltiplo no nulo también es un autovector.
- Dos autovalores cuya diferencia en el discriminante es menor que 10⁻⁹ se consideran repetidos. Un autovalor repetido tiene una dirección propia (es defectivo), salvo que A sea un múltiplo de la matriz identidad.
- El vector de prueba v siempre tiene longitud 1, así que la longitud de Av muestra cuánto estira A esa dirección.
Pruébalo en clase
- Q1Encuentra los valores propios y los vectores propios de A = [[4, 1], [2, 3]].
- Q2Demuestra que una rotación de cualquier ángulo distinto de 0° o 180° no tiene vectores propios reales.
- Q3Una matriz tiene traza 5 y determinante 6. ¿Cuáles son sus valores propios?
- Q4¿Por qué los vectores propios de una matriz simétrica siempre son perpendiculares entre sí?
- Q5La iteración de potencias converge lentamente cuando λ₂ / λ₁ está cerca de 1. Compruébalo con la matriz [[2, 0], [0, 1.9]].
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un valor propio negativo?
El vector propio se invierte para que apunte en la dirección opuesta y luego se escala por |λ|. El ejemplo de reflexión tiene valores propios 1 y -1: los vectores sobre el eje del espejo permanecen en su lugar, mientras que los vectores perpendiculares a él se invierten.
¿Dónde se usan los vectores propios?
En todos los ámbitos donde un sistema se repite u oscila: los modos normales de moléculas y puentes, la estabilidad de los equilibrios en ecuaciones diferenciales, el análisis de componentes principales en estadística, los estados cuánticos y el algoritmo PageRank original, que consiste en una iteración de potencias sobre la matriz de enlaces web.
¿Qué muestra la franja debajo del plano?
Para cada dirección de v, representa el producto vectorial v × Av, que es cero exactamente cuando Av es paralelo a v. Cada cruce por cero corresponde a una dirección propia. Si la curva nunca cruza el cero, no hay vectores propios reales.