À propos de cette expérience
Une matrice fait passer presque tous les vecteurs dans une nouvelle direction. Quelques directions particulières sont seulement étirées, rétrécies ou inversées : ce sont les vecteurs propres, et les facteurs d’étirement sont les valeurs propres. Fais tourner un vecteur v et observe son image Av ; lorsque les deux sont alignés, tu as trouvé un vecteur propre. Compare des matrices symétriques, des cisaillements, des rotations et des projections, et utilise l’itération de puissance pour voir comment des multiplications répétées trouvent d’elles-mêmes le vecteur propre dominant.
Objectifs pédagogiques
- Énonce l’équation aux valeurs propres Av = λv et interprète-la géométriquement
- Trouve les valeurs propres d’une matrice 2×2 à partir de son polynôme caractéristique
- Relie la trace et le déterminant à la somme et au produit des valeurs propres
- Reconnais les matrices ayant des valeurs propres complexes, multiples ou défectives
- Explique pourquoi l’itération de puissance converge vers le vecteur propre associé au plus grand |λ|
Comment l’utiliser
- 1Dans l’exemple symétrique, fais glisser v jusqu’à ce que Av pointe dans la même direction. Lis λ. Trouve la deuxième direction propre. Quel angle les sépare ?
- 2Appuyez sur « Balayage de v » et faites varier v. Observez la bande en dessous. Combien y a-t-il de passages par zéro sur 180°, et où se trouvent-ils ?
- 3Choisissez « Rotation ». Pourquoi aucune direction ne peut-elle rester fixe ? Lisez les valeurs propres complexes.
- 4Choisissez « Cisaillement ». Combien y a-t-il de directions propres ? Regardez le discriminant.
- 5Choisissez « Non symétrique ». Les vecteurs propres sont-ils toujours perpendiculaires ?
- 6Orientez v dans n’importe quelle direction et appuyez plusieurs fois sur « Étape de l’itération de puissance ». Vers quel vecteur propre v tend-il, et à quelle vitesse ?
Le modèle
Hypothèses
- Toutes les entrées sont réelles. Les vecteurs propres sont représentés par des vecteurs unitaires ; tout multiple non nul est également un vecteur propre.
- Deux valeurs propres dont l’écart, mesuré par le discriminant, est inférieur à 10⁻⁹ sont considérées comme multiples. Une valeur propre multiple a une seule direction propre (elle est défective), sauf si A est un multiple de la matrice identité.
- Le vecteur de test v a toujours une longueur de 1 ; la longueur de Av indique donc dans quelle mesure A étire cette direction.
À essayer en classe
- Q1Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de A = [[4, 1], [2, 3]].
- Q2Montrez qu’une rotation d’un angle autre que 0° ou 180° n’a pas de vecteurs propres réels.
- Q3Une matrice a une trace de 5 et un déterminant de 6. Quelles sont ses valeurs propres ?
- Q4Pourquoi les vecteurs propres d’une matrice symétrique sont-ils toujours perpendiculaires ?
- Q5La méthode de la puissance converge lentement lorsque λ₂ / λ₁ est proche de 1. Vérifiez-le avec la matrice [[2, 0], [0, 1.9]].
Foire aux questions
Que signifie une valeur propre négative ?
Le vecteur propre est inversé pour pointer dans la direction opposée, puis multiplié par |λ|. L’exemple de réflexion a pour valeurs propres 1 et -1 : les vecteurs situés sur l’axe du miroir restent en place, tandis que ceux qui lui sont perpendiculaires sont inversés.
À quoi servent les vecteurs propres ?
Partout où un système se répète ou oscille : les modes normaux des molécules et des ponts, la stabilité des équilibres dans les équations différentielles, l’analyse en composantes principales en statistique, les états quantiques et l’algorithme PageRank original, qui est une itération de puissance sur la matrice des liens du Web.
Que montre la bande sous le plan ?
Pour chaque direction de v, elle représente le produit vectoriel v × Av, qui est nul exactement lorsque Av est parallèle à v. Chaque passage par zéro correspond à une direction propre. Si la courbe ne passe jamais par zéro, il n’y a pas de vecteurs propres réels.