Über dieses Experiment
Eine Matrix verschiebt fast jeden Vektor in eine neue Richtung. Einige wenige besondere Richtungen werden nur gestreckt, gestaucht oder umgekehrt: Das sind die Eigenvektoren, und die Streckfaktoren sind die Eigenwerte. Drehe einen Vektor v und beobachte sein Bild Av; wenn beide in dieselbe Richtung zeigen, hast du einen Eigenvektor gefunden. Vergleiche symmetrische Matrizen, Scherungen, Drehungen und Projektionen und nutze die Potenziteration, um zu sehen, wie wiederholte Multiplikation von selbst den dominanten Eigenvektor findet.
Lernziele
- Gib die Eigenwertgleichung Av = λv an und interpretiere sie geometrisch
- Bestimme die Eigenwerte einer 2×2-Matrix anhand ihres charakteristischen Polynoms
- Setze Spur und Determinante in Beziehung zur Summe und zum Produkt der Eigenwerte
- Erkenne Matrizen mit komplexen, mehrfachen oder defekten Eigenwerten
- Erkläre, warum die Potenziteration gegen den Eigenvektor mit dem größten |λ| konvergiert
Anleitung
- 1Ziehe im symmetrischen Beispiel v so lange, bis Av in dieselbe Richtung zeigt. Lies λ ab. Finde die zweite Eigenrichtung. Welcher Winkel liegt zwischen ihnen?
- 2Drücke „Sweep v“ und bewege v herum. Beobachte den Streifen darunter. Wie viele Nullstellen gibt es in 180°, und wo liegen sie?
- 3Wähle „Rotation“. Warum kann keine Richtung fest bleiben? Lies die komplexen Eigenwerte ab.
- 4Wähle „Shear“. Wie viele Eigenrichtungen gibt es? Sieh dir die Diskriminante an.
- 5Wähle „Nicht symmetrisch“. Stehen die Eigenvektoren weiterhin senkrecht aufeinander?
- 6Richte v in eine beliebige Richtung aus und drücke mehrmals auf „Schritt der Potenziteration“. Welchem Eigenvektor nähert sich v an, und wie schnell?
Das Modell
Annahmen
- Alle Einträge sind reell. Eigenvektoren werden als Einheitsvektoren dargestellt; jedes von null verschiedene Vielfache ist ebenfalls ein Eigenvektor.
- Zwei Eigenwerte, deren Abstand in der Diskriminante kleiner als 10⁻⁹ ist, werden als mehrfach behandelt. Ein mehrfacher Eigenwert hat eine Eigenrichtung (defekt), sofern A nicht ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
- Der Testvektor v hat immer die Länge 1. Daher zeigt die Länge von Av, wie stark A diese Richtung streckt.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A = [[4, 1], [2, 3]].
- Q2Zeige, dass eine Drehung um jeden Winkel außer 0° oder 180° keine reellen Eigenvektoren hat.
- Q3Eine Matrix hat die Spur 5 und die Determinante 6. Was sind ihre Eigenwerte?
- Q4Warum stehen die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix immer senkrecht aufeinander?
- Q5Die Potenzmethode konvergiert langsam, wenn λ₂ / λ₁ nahe bei 1 liegt. Teste dies mit der Matrix [[2, 0], [0, 1.9]].
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet ein negativer Eigenwert?
Der Eigenvektor wird umgedreht, sodass er in die entgegengesetzte Richtung zeigt, und anschließend mit |λ| skaliert. Das Spiegelungsbeispiel hat die Eigenwerte 1 und -1: Vektoren auf der Spiegelachse bleiben unverändert, Vektoren senkrecht dazu werden umgedreht.
Wofür werden Eigenvektoren verwendet?
Überall dort, wo sich ein System wiederholt oder schwingt: Normalschwingungen von Molekülen und Brücken, die Stabilität von Gleichgewichten in Differentialgleichungen, die Hauptkomponentenanalyse in der Statistik, Quantenzustände und der ursprüngliche PageRank-Algorithmus, eine Potenziteration auf der Weblink-Matrix.
Was zeigt der Streifen unterhalb der Ebene?
Für jede Richtung von v zeigt er das Kreuzprodukt v × Av, das genau dann null ist, wenn Av parallel zu v ist. Jeder Nulldurchgang entspricht einer Eigenrichtung. Schneidet die Kurve die Null nie, gibt es keine reellen Eigenvektoren.