Informazioni su questo esperimento
Una matrice sposta quasi tutti i vettori in una nuova direzione. Alcune direzioni particolari vengono solo allungate, accorciate o invertite: sono gli autovettori, e i fattori di allungamento sono gli autovalori. Ruota un vettore v e osserva la sua immagine Av; quando i due puntano nella stessa direzione, hai trovato un autovettore. Confronta matrici simmetriche, tagli, rotazioni e proiezioni, e usa il metodo delle potenze per vedere come le moltiplicazioni ripetute trovano da sole l’autovettore dominante.
Obiettivi di apprendimento
- Enuncia l’equazione agli autovalori Av = λv e interpretala geometricamente
- Trova gli autovalori di una matrice 2×2 a partire dal suo polinomio caratteristico
- Collega la traccia e il determinante alla somma e al prodotto degli autovalori
- Riconosci le matrici con autovalori complessi, ripetuti o difettivi
- Spiega perché il metodo delle potenze converge all’autovettore associato al |λ| più grande
Come si usa
- 1Nell’esempio simmetrico, trascina v finché Av punta nella stessa direzione. Leggi λ. Trova la seconda direzione propria. Qual è l’angolo che le separa?
- 2Premi «Scansione di v» e fai ruotare v. Osserva la striscia sottostante. Quanti attraversamenti dello zero ci sono in 180° e dove si trovano?
- 3Seleziona «Rotazione». Perché nessuna direzione può rimanere fissa? Leggi gli autovalori complessi.
- 4Seleziona «Taglio». Quante direzioni proprie ci sono? Guarda il discriminante.
- 5Seleziona «Non simmetrica». Gli autovettori sono ancora perpendicolari?
- 6Punta v in una direzione qualsiasi e premi più volte «Passo dell’iterazione delle potenze». A quale autovettore si avvicina v e con quale rapidità?
Il modello
Ipotesi
- Tutte le voci sono reali. Gli autovettori sono mostrati come vettori unitari; anche qualsiasi multiplo non nullo è un autovettore.
- Due autovalori la cui differenza, nel discriminante, è inferiore a 10⁻⁹ vengono considerati coincidenti. Un autovalore multiplo ha una sola direzione propria (è difettivo), a meno che A non sia un multiplo della matrice identità.
- Il vettore di prova v ha sempre lunghezza 1, quindi la lunghezza di Av mostra quanto A allunga quella direzione.
Provalo in classe
- Q1Trova gli autovalori e gli autovettori di A = [[4, 1], [2, 3]].
- Q2Dimostra che una rotazione di qualsiasi angolo diverso da 0° o 180° non ha autovettori reali.
- Q3Una matrice ha traccia 5 e determinante 6. Quali sono i suoi autovalori?
- Q4Perché gli autovettori di una matrice simmetrica sono sempre perpendicolari?
- Q5Il metodo delle potenze converge lentamente quando λ₂ / λ₁ è vicino a 1. Verificalo con la matrice [[2, 0], [0, 1.9]].
Domande frequenti
Che cosa significa un autovalore negativo?
L’autovettore viene invertito per puntare nella direzione opposta, quindi viene scalato di |λ|. L’esempio della riflessione ha autovalori 1 e -1: i vettori sulla linea dello specchio restano fermi, mentre quelli perpendicolari ad essa vengono invertiti.
A cosa servono gli autovettori?
Ovunque un sistema si ripeta o oscilli: i modi normali di molecole e ponti, la stabilità degli equilibri nelle equazioni differenziali, l’analisi delle componenti principali in statistica, gli stati quantistici e l’algoritmo PageRank originale, che consiste nell’iterazione delle potenze sulla matrice dei collegamenti web.
Che cosa mostra la striscia sotto il piano?
Per ogni direzione di v, rappresenta il prodotto vettoriale v × Av, che è zero esattamente quando Av è parallelo a v. Ogni attraversamento dello zero corrisponde a una direzione propria. Se la curva non attraversa mai lo zero, non ci sono autovettori reali.