關於此實驗
矩陣會將幾乎所有向量移向新的方向。只有少數特殊方向上的向量只會被拉伸、縮短或翻轉：這些方向就是特徵向量，對應的伸縮倍數就是特徵值。轉動向量 v，觀察它的像 Av；當兩者方向一致時，你就找到了特徵向量。比較對稱矩陣、剪切、旋轉和投影，並使用冪次迭代觀察反覆進行矩陣乘法如何自動找到主特徵向量。
學習目標
- 寫出特徵值方程 Av = λv，並從幾何角度加以解釋
- 根據特徵多項式求出 2×2 矩陣的特徵值
- 將跡和行列式與特徵值的和與積連結起來
- 辨認具有複數特徵值、重複特徵值或缺陷特徵值的矩陣
- 解釋冪次迭代為何會收斂至 |λ| 最大的特徵向量
使用方法
- 1在對稱矩陣範例中，拖曳 v，直到 Av 指向相同方向。讀取 λ。找出第二個特徵方向。兩者之間的夾角是多少？
- 2按下 Sweep 旋轉 v，並觀察下方的條帶。180° 內有幾個零點交叉？它們分別在哪裡？
- 3選擇 Rotation。為什麼沒有任何方向能保持不變？查看複特徵值。
- 4選擇 Shear。有幾個特徵方向？查看判別式。
- 5選擇 Not symmetric。特徵向量仍然互相垂直嗎？
- 6將 v 指向任意方向，然後多次按下 Power iteration step。v 會趨近於哪個特徵向量？趨近速度有多快？
模型
假設
- 所有元素皆為實數。特徵向量以單位向量的形式顯示；任何非零倍數也都是特徵向量。
- 在判別式中，相差小於 10⁻⁹ 的兩個特徵值會被視為重根。重特徵值對應一個特徵方向（缺陷情形），除非 A 是單位矩陣的倍數。
- 探測向量 v 的長度始終為 1，因此 Av 的長度可以顯示 A 對該方向的拉伸程度。
在課堂上試試這個實驗
- Q1求 A = [[4, 1], [2, 3]] 的特徵值和特徵向量。
- Q2證明旋轉角度不為 0° 或 180° 時，不存在實特徵向量。
- Q3一個矩陣的跡為 5，行列式為 6。它的特徵值是什麼？
- Q4為什麼對稱矩陣的特徵向量總是彼此垂直？
- Q5當 λ₂ / λ₁ 接近 1 時，冪次迭代收斂緩慢。用矩陣 [[2, 0], [0, 1.9]] 驗證這一點。
常見問題
負特徵值代表什麼？
特徵向量會翻轉到相反方向，然後按 |λ| 倍縮放。反射的例子中，特徵值為 1 和 -1：鏡面線上的向量保持不變，與鏡面線垂直的向量則會翻轉。
特徵向量有哪些用途？
凡是系統重複或振動的地方，都能看到它的身影：分子和橋梁的正常模態、微分方程中平衡點的穩定性、統計學中的主成分分析、量子態，以及早期的 PageRank 演算法，它本質上是對網頁連結矩陣進行冪次迭代。
平面下方的帶狀區域顯示了什麼？
它針對 v 的每個方向繪製外積 v × Av；當且僅當 Av 與 v 平行時，該外積為零。每個與零的交點都對應一個特徵方向。如果曲線始終不與零相交，就不存在實特徵向量。