机械能守恒

高中物理固定轨道上的球受到滑动摩擦，使用数值方法求解

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关于此实验

将小球放在弯曲的轨道上，观察能量形式的变化。没有摩擦时，动能和势能相互转化，而总能量始终保持完全不变，因此小球总能回到起始高度。加入摩擦后，越来越多的能量转化为热能，摆动幅度逐渐减小，小球最终停下来。柱状图和能量随时间变化的图表让每一焦耳的能量变化都清晰可见。

学习目标

描述物体沿斜坡上下移动时，重力势能和动能如何变化
说明没有摩擦时总机械能保持不变
利用能量守恒预测小球到达轨道底部时的速度
解释摩擦作用时“损失”的能量去了哪里

使用方法

1将摩擦系数保持为零，把小球拖到 4 m 的高度，然后按下“播放”。
2比较最高点和最低点处的动能条与势能条。
3改变质量和重力。再次释放小球前，预测它到达底部时的速度。
4增大摩擦系数，观察热能条如何增长，直到小球停止。

模型

E_{p} = m g h, E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}

重力势能和动能

E_{k} + E_{p} + E_{th} = constant

能量守恒，包括摩擦产生的热量

v = 2 g Δ h

无摩擦时，下落 Δh 后的速度与质量无关

f = μ N, N = m (g cos θ + \frac{v ^{2}}{r})

曲轨上的滑动摩擦，其中 r 为曲率半径

假设

将小球视为沿轨道滑动且始终不离开轨道的质点。忽略滚动和自转。
忽略空气阻力。摩擦力为动摩擦力 μN；当斜面足够平缓、摩擦力能够使小球保持静止时，小球将保持静止。
势能以虚线地面为基准测量，该处 h = 0。
运动采用四阶龙格-库塔方法，以 1 ms 为步长进行积分，因此总能量保持不变，误差约为百万分之一。

在课堂上试试这个实验

Q1没有摩擦时，球在另一侧能爬升到多高？轨道的形状有影响吗？
Q2一个1 kg的球和一个5 kg的球从同一高度释放。到达底部时，哪个球更快？
Q3在有两个凹陷的轨道上，要让球越过中间的凸坡，释放高度最低是多少？
Q4开启摩擦后，总能量条的高度保持不变。球停下时，能量去哪儿了？

常见问题

为什么速度不取决于质量？

损失的重力势能和获得的动能都与质量成正比，因此在 mgh = ½mv² 中，质量可以约去。

有摩擦时，机械能守恒吗？

不守恒。机械能（动能与势能之和）会减少。但总能量仍然守恒，因为减少的能量转化成了球和轨道的热能。

为什么把地面线选作零势能位置？

任何高度都可以选作零点。运动只取决于势能的变化，因此移动零点只会使所有数值都改变相同的量，不会改变结果。