機械能守恆

高中物理固定軌道上的球受到滑動摩擦，使用數值方法求解

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關於此實驗

將小球放在彎曲的軌道上，觀察能量形式的變化。沒有摩擦時，動能和位能會互相轉換，而總能量始終保持完全不變，因此小球總能回到起始高度。加入摩擦後，越來越多的能量轉化為熱能，擺動幅度逐漸減小，小球最後會停下來。長條圖和能量隨時間變化的圖表，讓每一焦耳的能量變化都清晰可見。

學習目標

描述物體沿斜坡上下移動時，重力位能和動能如何變化
說明沒有摩擦時總機械能保持不變
利用能量守恆預測小球到達軌道底部時的速度
解釋摩擦作用時「損失」的能量去了哪裡

使用方法

1將摩擦係數維持為零，把小球拖曳到 4 m 的高度，然後按下「播放」。
2比較最高點和最低點處的動能條與位能條。
3改變質量和重力。再次釋放小球前，預測它到達底部時的速度。
4提高摩擦係數，觀察熱能條如何增長，直到小球停止。

模型

E_{p} = m g h, E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}

重力位能和動能

E_{k} + E_{p} + E_{th} = constant

能量守恆，包括摩擦產生的熱量

v = 2 g Δ h

無摩擦時，下落 Δh 後的速度與質量無關

f = μ N, N = m (g cos θ + \frac{v ^{2}}{r})

曲線軌道上的滑動摩擦，其中 r 為曲率半徑

假設

將小球視為沿軌道滑動且始終不離開軌道的質點。忽略滾動和自轉。
忽略空氣阻力。摩擦力為動摩擦力 μN；當斜面足夠平緩、摩擦力能使小球保持靜止時，小球將保持靜止。
位能以虛線地面為基準測量，該處 h = 0。
運動採用四階龍格－庫塔方法，以 1 ms 為步長進行積分，因此總能量保持不變，誤差約為百萬分之一。

在課堂上試試這個實驗

Q1沒有摩擦時，球在另一側能爬升到多高？軌道的形狀有影響嗎？
Q2一個1 kg的球和一個5 kg的球從同一高度釋放。到達底部時，哪個球比較快？
Q3在有兩個凹陷的軌道上，要讓球越過中間的凸坡，最低的釋放高度是多少？
Q4開啟摩擦後，總能量條的高度維持不變。球停下時，能量去哪裡了？

常見問題

為什麼速度不取決於質量？

損失的重力位能和獲得的動能都與質量成正比，因此在 mgh = ½mv² 中，質量可以約掉。

有摩擦時，力學能守恆嗎？

不守恆。力學能（動能與位能的總和）會減少。但總能量仍然守恆，因為減少的能量轉化成了球和軌道的熱能。

為什麼把地面線選作零位能的位置？

任何高度都可以選作零點。運動只取決於位能的變化，因此移動零點只會使所有數值都改變相同的量，不會改變結果。