高中适用的物理模拟：开普勒定律

关于此实验

大约在1609年，约翰内斯·开普勒仔细研究了第谷·布拉赫多年对火星的观测结果，发现了适用于所有行星的三条定律：行星轨道是以太阳为一个焦点的椭圆；行星在相等时间内扫过相等面积；公转周期的平方与轨道大小的立方成正比。改变轨道的大小和形状，观察行星在靠近太阳时如何加速，并用真实的行星和一颗彗星检验第三定律。

学习目标

陈述开普勒三大定律，并分别加以图示
用半长轴、离心率和焦点描述椭圆
运用面积定律解释行星为何在近日点运动得最快
使用 T² = a³（年、AU）求出绕太阳运行的天体的周期或轨道大小
将第二定律与角动量守恒联系起来

使用方法

1从 e = 0 开始。轨道是什么形状？太阳在哪里？所有扇形的形状都一样吗？
2将离心率提高到 0.6。观察行星运行一周时的速度读数。行星在哪里速度最快，在哪里最慢？
3看看阴影扇区。它们的形状差别很大。将它们的面积与读数进行比较。
4显示焦点后，观察从两个焦点连到行星的灰色线段。行星移动时，什么保持不变？
5依次选择水星、地球、火星和木星。读取 T 和 a，并检查 T² / a³ 是否始终为 1。
6选择哈雷彗星。它的周期有多长？为什么它大部分时间都在远离太阳的地方度过？
7保持 e 不变，将 a 加倍。周期会扩大多少倍？

模型

r = \frac{a ( 1 - e ^{2} )}{1 + e cos θ}

第一定律：以太阳位于一个焦点上的椭圆轨道（θ 从近日点起测量）

\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = constant

第二定律：相等的时间扫过相等的面积

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3} \Rightarrow T_{yr}^{2} = a_{AU}^{3}

适用于绕太阳运行天体的第三定律

M = E - e sin E, M = \frac{2 π t}{T}

开普勒方程可以给出任意时刻的位置

v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

用于计算距离 r 处速度的活力公式

假设

行星的质量远小于太阳，因此太阳固定在焦点处。忽略其他行星的引力。
位置是通过在每一帧精确求解开普勒方程得出的，而不是逐步推进运动来计算的。
真实天体的轨道大小和离心率采用经过取整的现代数值。轨道绘制在各自的轨道平面上，因此不会显示倾角。
动画用相同的9秒展示每条轨道；读数显示的是真实时间。

在课堂上试试这个实验

Q1一颗小行星的轨道半长轴 a = 4 AU。它的周期是多少？
Q2一颗彗星的周期为125年。它的半长轴是多少？
Q3地球在一月初离太阳最近。地球在一月还是七月运动得更快？请用第二定律解释。
Q4一颗彗星的近日点距离为0.5 AU，远日点距离为35 AU。求 a 和 e。
Q5为什么对于绕地球运行的月球，形式为 T² = a³ 的第三定律不适用？

常见问题

扇形面积相同，形状为什么差别这么大？

靠近太阳时，行星很快走过一段较长的弧，因此扇形又短又宽。远离太阳时，行星移动较慢，因此扇形又长又窄。由于角动量守恒，这些扇形的面积相等。

开普勒知道自己的定律为什么成立吗？

不。他是根据数据推导出它们的。大约80年后，艾萨克·牛顿证明了这三条定律都可以由万有引力的反平方定律推导出来，因此它们成为支持他的理论的有力证据。

地球的轨道真的是椭圆吗？

是的，不过轨道非常接近圆形：e = 0.017，因此它与太阳的距离只变化约3%。季节变化是由地轴倾斜造成的，而不是由这种距离变化造成的。