高中適用的物理模擬：克卜勒定律

關於此實驗

大約在1609年，約翰尼斯·克卜勒仔細研究了第谷·布拉赫多年來對火星的觀測結果，發現了適用於所有行星的三條定律：行星軌道是以太陽為一個焦點的橢圓；行星在相等時間內掃過相等面積；公轉週期的平方與軌道大小的立方成正比。改變軌道的大小和形狀，觀察行星在接近太陽時如何加速，並用真實的行星和一顆彗星檢驗第三定律。

學習目標

陳述克卜勒三大定律，並分別加以圖示
用半長軸、離心率和焦點描述橢圓
運用面積定律解釋行星為何在近日點運動得最快
使用 T² = a³（年、AU）求出繞太陽運行的天體的週期或軌道大小
將第二定律與角動量守恆連結起來

使用方法

1從 e = 0 開始。軌道是什麼形狀？太陽在哪裡？所有扇形的形狀都一樣嗎？
2將離心率提高到 0.6。觀察行星運行一周時的速度讀數。行星在哪裡速度最快，在哪裡最慢？
3看看陰影扇區。它們的形狀差異很大。將它們的面積與讀數進行比較。
4顯示焦點後，觀察從兩個焦點連到行星的灰色線段。行星移動時，什麼保持不變？
5依序選擇水星、地球、火星和木星。讀取 T 和 a，並檢查 T² / a³ 是否始終為 1。
6選擇哈雷彗星。它的週期有多長？為什麼它大部分時間都在遠離太陽的地方度過？
7保持 e 不變，將 a 加倍。週期會增加幾倍？

模型

r = \frac{a ( 1 - e ^{2} )}{1 + e cos θ}

第一定律：以太陽位於其中一個焦點上的橢圓軌道（θ 從近日點起測量）

\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = constant

第二定律：相等的時間掃過相等的面積

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3} \Rightarrow T_{yr}^{2} = a_{AU}^{3}

適用於繞太陽運行天體的第三定律

M = E - e sin E, M = \frac{2 π t}{T}

克卜勒方程式可以給出任意時刻的位置

v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

用於計算距離 r 處速度的活力公式

假設

行星的質量遠小於太陽，因此太陽固定在焦點上。忽略其他行星的引力。
位置是透過在每一影格精確求解克卜勒方程式得出的，而不是逐步推進運動來計算的。
真實天體的軌道大小和離心率採用經過取整的現代數值。軌道繪製在各自的軌道平面上，因此不會顯示傾角。
動畫用相同的9秒展示每條軌道；讀數顯示的是真實時間。

在課堂上試試這個實驗

Q1一顆小行星的軌道半長軸 a = 4 AU。它的週期是多少？
Q2一顆彗星的週期為125年。它的半長軸是多少？
Q3地球在一月初離太陽最近。地球在一月還是七月運動得比較快？請用第二定律解釋。
Q4一顆彗星的近日點距離為0.5 AU，遠日點距離為35 AU。求 a 和 e。
Q5為什麼對於繞地球運行的月球，形式為 T² = a³ 的第三定律不適用？

常見問題

扇形面積相同，形狀為什麼差異這麼大？

靠近太陽時，行星很快走過一段較長的弧，因此扇形又短又寬。遠離太陽時，行星移動較慢，因此扇形又長又窄。由於角動量守恆，這些扇形的面積相等。

克卜勒知道自己的定律為什麼成立嗎？

不。他是根據數據推導出它們的。大約80年後，艾薩克·牛頓證明了這三條定律都可以由萬有引力的反平方定律推導出來，因此它們成為支持他的理論的有力證據。

地球的軌道真的是橢圓嗎？

是的，不過軌道非常接近圓形：e = 0.017，因此它與太陽的距離只變化約3%。季節變化是由地軸傾斜造成的，而不是由這種距離變化造成的。