この実験について
1609年ごろ、ヨハネス・ケプラーはティコ・ブラーエによる火星の長年にわたる綿密な観測を詳しく分析し、すべての惑星に当てはまる3つの法則を見いだしました。軌道は太陽を一つの焦点とする楕円であり、惑星は等しい時間に等しい面積を掃き、周期の2乗は軌道の大きさの3乗に比例します。軌道の大きさや形を変え、惑星が太陽の近くで速く動く様子を観察し、実際の惑星や彗星を使って第3法則を確かめましょう。
学習目標
- ケプラーの3つの法則をすべて述べ、それぞれを図で示しなさい
- 長半径、離心率、焦点を使って楕円を説明する
- 面積速度一定の法則を使って、惑星が近日点で最も速く動く理由を説明する
- T² = a³（年、AU）を使って、太陽の周りを回る天体の公転周期または軌道の大きさを求める
- 第2法則を角運動量保存則と結び付ける
使い方
- 1e = 0 から始めましょう。軌道はどんな形で、太陽はどこにありますか？各扇形はすべて同じ形ですか？
- 2離心率を 0.6 に上げましょう。1 周する間、速度の表示を観察してください。惑星が最も速いのはどこで、最も遅いのはどこですか？
- 3色が付いた扇形を見てください。形は大きく異なります。表示される値と、それぞれの面積を比べてみましょう。
- 4焦点を表示した状態で、焦点から惑星まで伸びる2本の灰色の線を見てください。惑星が動いても変わらないものは何ですか？
- 5水星、地球、火星、木星を順に選びます。T と a を読み取り、T² / a³ が常に 1 になることを確認してください。
- 6ハレー彗星を選びなさい。公転周期はどれくらいですか。また、なぜその期間の大半を太陽から遠く離れて過ごすのでしょうか？
- 7e を一定に保ったまま a を2倍にします。周期は何倍になりますか？
モデル
前提条件
- 惑星は太陽よりはるかに軽いため、太陽は焦点に固定されたままです。他の惑星からの引力は無視します。
- 位置は、運動を少しずつ進めて求めるのではなく、各フレームでケプラーの方程式を厳密に解いて求めます。
- 実際の天体の軌道サイズと離心率は、現代の近似値に丸められています。軌道はそれぞれの軌道面に描かれているため、傾きは表示されていません。
- アニメーションでは、すべての軌道が同じ9秒間で表示されます。数値表示には実際の時間が示されています。
授業で試してみましょう
- Q1小惑星が a = 4 AU の軌道を回っています。その公転周期は何年ですか？
- Q2ある彗星の公転周期は125年です。その軌道長半径はいくらですか？
- Q3地球が太陽に最も近づくのは1月上旬です。地球は1月と7月のどちらに速く動いていますか？第二法則を使って説明してください。
- Q4ある彗星の近日点距離は0.5 AU、遠日点距離は35 AUです。a と e を求めてください。
- Q5地球の周りを回る月について、T² = a³ の形の第三法則が成り立たないのはなぜですか？
よくある質問
面積が同じなのに、扇形の形がこれほど違うのはなぜですか？
太陽に近いところでは、惑星が短時間で長い弧を進むため、扇形は短く幅広くなります。遠いところでは、惑星の動きが遅いため、扇形は長く細くなります。角運動量が保存されるので、面積は等しくなります。
ケプラーは、自分の法則が成り立つ理由を知っていましたか？
いいえ。彼はデータからそれらを導き出しました。それから約80年後、アイザック・ニュートンは、3つすべてが万有引力の逆二乗則から導かれることを示し、それらは彼の理論を裏付ける強力な証拠となりました。
地球の軌道は本当に楕円なの？
はい。ただし、非常に円に近い軌道です。e = 0.017 なので、太陽からの距離は約3％しか変化しません。季節が生じるのは、距離の変化ではなく地軸の傾きによるものです。