이 실험 소개
1609년경 요하네스 케플러는 티코 브라헤가 수년간 세심하게 관측한 화성의 자료를 면밀히 분석해 모든 행성에 적용되는 세 가지 법칙을 발견했습니다. 궤도는 태양이 한 초점에 있는 타원이고, 행성은 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나가며, 공전 주기의 제곱은 궤도 크기의 세제곱에 비례합니다. 궤도의 크기와 모양을 바꾸고, 행성이 태양 가까이에서 빨라지는 모습을 살펴보고, 실제 행성과 혜성으로 제3법칙을 확인해 보세요.
학습 목표
- 케플러의 세 가지 법칙을 모두 서술하고 각각을 그림으로 나타내세요
- 장반경, 이심률, 초점을 사용해 타원을 설명하기
- 면적 속도 일정의 법칙을 이용해 행성이 근일점에서 가장 빠르게 움직이는 이유 설명하기
- T² = a³ (년, AU)를 사용해 태양 주위를 도는 천체의 공전 주기나 궤도 크기 구하기
- 제2법칙을 각운동량 보존과 연결하기
사용 방법
- 1e = 0에서 시작하세요. 궤도는 어떤 모양이고 태양은 어디에 있나요? 모든 부채꼴의 모양이 같나요?
- 2이심률을 0.6으로 높이세요. 한 바퀴 도는 동안 속도 표시를 살펴보세요. 행성은 어디에서 가장 빠르고 어디에서 가장 느린가요?
- 3색칠된 부채꼴을 살펴보세요. 모양이 서로 크게 다릅니다. 표시된 값과 각 부채꼴의 넓이를 비교해 보세요.
- 4초점을 표시한 상태에서 초점에서 행성까지 이어지는 두 개의 회색 선을 살펴보세요. 행성이 움직여도 변하지 않는 것은 무엇인가요?
- 5수성, 지구, 화성, 목성을 차례로 선택하세요. T와 a를 읽고 T² / a³이 항상 1인지 확인하세요.
- 6핼리 혜성을 선택하세요. 공전 주기는 얼마이며, 왜 그 시간의 대부분을 태양에서 멀리 떨어져 보내나요?
- 7e를 고정한 채 a를 두 배로 늘리세요. 주기는 몇 배로 늘어나나요?
모델
가정
- 행성은 태양보다 훨씬 가벼우므로 태양은 초점에 고정된 채로 있습니다. 다른 행성의 인력은 무시합니다.
- 위치는 운동을 조금씩 진행해 구하는 것이 아니라, 각 프레임에서 케플러 방정식을 정확히 풀어 구합니다.
- 실제 천체의 궤도 크기와 이심률은 현대의 근삿값으로 반올림했습니다. 궤도는 각자의 궤도면에 그려져 있으므로 기울기는 표시되지 않습니다.
- 애니메이션에서는 모든 궤도를 동일하게 9초 동안 보여 줍니다. 표시된 수치에는 실제 시간이 나옵니다.
수업에서 해 보기
- Q1소행성이 a = 4 AU인 궤도를 돕니다. 공전 주기는 얼마인가요?
- Q2어떤 혜성의 공전 주기는 125년입니다. 장반경은 얼마인가요?
- Q3지구는 1월 초에 태양에 가장 가까워집니다. 지구는 1월과 7월 중 어느 때 더 빠르게 움직이나요? 제2법칙을 이용해 설명하세요.
- Q4어떤 혜성의 근일점 거리는 0.5 AU이고 원일점 거리는 35 AU입니다. a와 e를 구하세요.
- Q5지구 주위를 도는 달에는 T² = a³ 형태의 제3법칙이 왜 성립하지 않나요?
자주 묻는 질문
넓이는 같은데 부채꼴의 모양이 왜 이렇게 다른가요?
태양 근처에서는 행성이 짧은 시간에 긴 호를 지나가기 때문에 부채꼴이 짧고 넓습니다. 멀리 떨어져 있을 때는 행성이 느리게 움직이므로 부채꼴이 길고 가늘어집니다. 각운동량이 보존되기 때문에 넓이는 서로 같습니다.
케플러는 자신의 법칙이 성립하는 이유를 알고 있었나요?
아니요. 그는 데이터를 바탕으로 그것들을 알아냈습니다. 약 80년 후 아이작 뉴턴은 세 가지 모두가 중력의 역제곱 법칙에서 비롯된다는 것을 보여 주었고, 이는 그의 이론을 뒷받침하는 강력한 증거가 되었습니다.
지구의 궤도는 정말 타원일까요?
네, 하지만 매우 원에 가까운 궤도입니다. e = 0.017이므로 태양과의 거리는 약 3%만 변합니다. 계절은 이러한 거리 변화가 아니라 자전축의 기울기 때문에 생깁니다.