Simulation de Lois de Kepler

À propos de cette expérience

Vers 1609, Johannes Kepler a étudié des années d’observations minutieuses de Mars réalisées par Tycho Brahe et a découvert trois règles auxquelles obéissent toutes les planètes. Les orbites sont des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers ; une planète balaie des aires égales en des temps égaux, et le carré de la période est proportionnel au cube de la taille de l’orbite. Modifiez la taille et la forme d’une orbite, observez la planète accélérer près du Soleil et vérifiez la troisième loi à l’aide de véritables planètes et d’une comète.

Objectifs pédagogiques

Énonce les trois lois de Kepler et illustre chacune d’elles.
Décrivez une ellipse à l’aide de son demi-grand axe, de son excentricité et de ses foyers
Expliquez, à l’aide de la loi des aires égales, pourquoi une planète se déplace le plus vite au périhélie
Utilisez T² = a³ (années, UA) pour trouver la période ou la taille de l’orbite d’un corps autour du Soleil
Reliez la deuxième loi à la conservation du moment cinétique

Comment l’utiliser

1Commencez avec e = 0. Quelle est la forme de l’orbite et où se trouve le Soleil ? Tous les secteurs ont-ils la même forme ?
2Augmentez l’excentricité jusqu’à 0,6. Observez l’indication de vitesse pendant une orbite. Où la planète est-elle la plus rapide et la plus lente ?
3Observez les secteurs ombrés. Ils ont des formes très différentes. Comparez leurs aires avec l’indication.
4Avec les foyers affichés, observez les deux lignes grises allant des foyers à la planète. Qu’est-ce qui reste identique lorsque la planète se déplace ?
5Sélectionnez successivement Mercure, la Terre, Mars et Jupiter. Relevez T et a, puis vérifiez que T² / a³ reste égal à 1.
6Choisis la comète de Halley. Quelle est la durée de sa période et pourquoi passe-t-elle la majeure partie de ce temps loin du Soleil ?
7Gardez e fixe et doublez a. Par quel facteur la période augmente-t-elle ?

Le modèle

r = \frac{a ( 1 - e ^{2} )}{1 + e cos θ}

Première loi : une ellipse avec le Soleil en l’un de ses foyers (θ est mesuré à partir du périhélie)

\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m} = constant

Deuxième loi : des aires égales en des temps égaux

T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3} \Rightarrow T_{yr}^{2} = a_{AU}^{3}

Troisième loi pour les corps en orbite autour du Soleil

M = E - e sin E, M = \frac{2 π t}{T}

L’équation de Kepler donne la position à tout instant

v^{2} = GM (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

Équation de Vis-Viva pour la vitesse à la distance r

Hypothèses

La planète est beaucoup plus légère que le Soleil, qui reste donc fixe au foyer. Les attractions des autres planètes sont ignorées.
Les positions sont obtenues en résolvant exactement l’équation de Kepler à chaque image, et non en faisant avancer le mouvement pas à pas.
Les dimensions des orbites et les excentricités des corps réels sont des valeurs modernes arrondies. Les orbites sont représentées dans leur propre plan, les inclinaisons ne sont donc pas visibles.
L’animation montre chaque orbite en 9 secondes, quelle que soit sa durée réelle ; les affichages indiquent les temps réels.

À essayer en classe

Q1Un astéroïde est en orbite avec a = 4 AU. Quelle est sa période ?
Q2Une comète a une période de 125 ans. Quel est son demi-grand axe ?
Q3La Terre est au plus près du Soleil au début du mois de janvier. La Terre se déplace-t-elle plus vite en janvier ou en juillet ? Expliquez à l’aide de la deuxième loi.
Q4Une comète a un périhélie de 0,5 AU et un aphélie de 35 AU. Trouvez a et e.
Q5Pourquoi la troisième loi, sous la forme T² = a³, ne s’applique-t-elle pas à la Lune en orbite autour de la Terre ?

Foire aux questions

Pourquoi les secteurs ont-ils des formes si différentes alors qu’ils ont la même aire ?

Près du Soleil, le secteur est court et large, car la planète parcourt rapidement un long arc. Loin du Soleil, il est long et étroit, car la planète se déplace lentement. Les aires sont égales parce que le moment cinétique se conserve.

Kepler savait-il pourquoi ses lois fonctionnaient ?

Non. Il les a déduites à partir de données. Environ 80 ans plus tard, Isaac Newton a montré que les trois découlent d’une loi de la gravitation en inverse du carré, ce qui en faisait de solides preuves en faveur de sa théorie.

L’orbite de la Terre est-elle vraiment une ellipse ?

Oui, mais elle est très circulaire : e = 0.017, donc sa distance au Soleil ne varie que d’environ 3 %. Les saisons sont dues à l’inclinaison de l’axe, et non à cette variation de distance.