학급에 공을 가장 멀리 날려 보내는 발사 각도가 몇 도인지 물으면 대부분이 45도라고 답합니다. 정답이지만, 그 이유를 설명할 수 있는 학생은 매우 적고, 이에 따르는 두 가지 놀라운 사실을 예상하는 학생은 거의 없습니다. 이 수업은 그 추측을 학생들이 한 차시 안에 직접 시험하고, 측정하고, 설명할 수 있는 것으로 바꿔 줍니다.
공식이 아니라 예측으로 시작하세요
식을 보여주기 전에 학급 전체에 질문을 하나 해 보세요. 공을 초속 20 m로 발사합니다. 30도, 45도, 60도 중 어느 각도에서 가장 멀리 날아갈까요? 모두 투표하고 이유를 적어 보라고 하세요. 예상을 종이에 적어 두면 결과가 흥미로워집니다. 이제 그 예상이 맞는지, 아니면 뒤집히는지 확인할 수 있기 때문입니다.
그런 다음 대부분의 학생이 틀리는 두 번째 질문을 하세요. 30도와 60도 중 어느 각도에서 더 멀리 날아갈까요?
실험하기
포물선 운동 실험실을 엽니다. 초기 속도를 초속 20 m로 설정하고, 발사 높이는 0 m로 그대로 두며, 중력은 지구로 설정합니다. 45도로 발사한 다음, 궤적을 지우지 않은 채 30도와 60도로도 발사하여 세 경로가 화면에 함께 표시되도록 합니다.
이제 함께 표를 채워 보세요. 지구에서 초속 20 m로 설정했을 때 실험실에 표시되는 값은 다음과 같습니다.
| 발사 각도 | 수평 도달 거리 | 최대 높이 | 비행 시간 |
|---|---|---|---|
| 15° | 20.4 m | 1.4 m | 1.06 s |
| 30° | 35.3 m | 5.1 m | 2.04 s |
| 45° | 40.8 m | 10.2 m | 2.89 s |
| 60° | 35.3 m | 15.3 m | 3.53 s |
| 75° | 20.4 m | 19.0 m | 3.94 s |
놀라운 사실 1: 30도와 60도는 같은 지점에 떨어진다
표를 다시 살펴보세요. 30도와 60도는 모두 35.3 m 떨어진 곳에 떨어지며, 15도와 75도도 마찬가지입니다. 학생들은 좀처럼 이를 예상하지 못합니다. 두 궤적은 전혀 닮지 않았습니다. 60도로 던진 공은 세 배나 높이 올라가고 훨씬 더 오래 공중에 머무르지만, 결국 같은 지점에 도달합니다.
그 이유는 서로 맞바꾸는 관계에 있습니다. 높은 각도로 던지면 수직 방향 속도가 커져 공이 오랫동안 날아가지만, 수평 방향 속도는 매우 작아 멀리 나아가지 못합니다. 낮은 각도로 던지면 그 반대입니다. 비거리는 두 속도의 곱에 달려 있으며, 합이 90도가 되는 각도들은 정확히 같은 곱을 만들어 냅니다. 45도에서는 두 속도가 균형을 이루기 때문에 가장 멀리 날아갑니다.
고학년 학생용: 평평한 지면에서의 비거리는 R = v² sin 2θ / g 입니다. sin 2θ는 2θ = 90도일 때 가장 크며, θ와 90도에서 θ를 뺀 각도에서 sin 2θ의 값은 같습니다.
놀라운 사실 2: 절벽에서 던질 때는 45도가 더 이상 최적의 각도가 아니다
발사 높이를 높이면 최적의 각도는 45도보다 작아집니다. 공은 이미 떨어질 시간이 더 많으므로, 속도를 앞으로 나아가는 데 더 많이 쓰는 편이 유리합니다. 초속 20 m일 때 높이 10 m에서의 최적 각도는 약 39도이고, 높이 30 m에서는 약 32도입니다. 학생들이 각도를 5도씩 바꿔 가며 사거리를 기록해 직접 알아내도록 하세요.
모델에 대해 솔직하게 이야기하기에도 좋은 시점입니다. 대부분의 교과서 문제처럼 이 실험에서는 공기 저항을 무시합니다. 실제 축구공, 창, 포환은 발사 높이의 영향도 있고 공기 저항으로 속도가 줄어들기도 해서 45도보다 낮은 각도로 던집니다.
행성 바꾸기
중력 설정을 달로 바꾸세요. 중력은 모든 각도에서 수직 방향과 수평 방향 사이의 균형에 똑같은 방식으로 영향을 주므로 최적 각도는 여전히 45도입니다. 하지만 사거리는 약 247 m로 늘어납니다. 달의 중력은 지구 중력의 약 6분의 1이므로 사거리가 대략 6배 길어집니다.
한 차시에 진행할 수 있는 수업 계획
- 도입(5분): 어떤 각도로 던졌을 때 가장 멀리 날아가는지 묻고, 칠판에 투표 결과를 기록합니다.
- 예측(5분): 학생들은 선택한 각도와 그 이유를 적은 뒤, 30도와 60도 중 어느 각도에서 더 멀리 날아갈지 예측합니다.
- 실험(15분): 초기 속도를 20 m/s로 설정하고 15도, 30도, 45도, 60도, 75도에서 실험한 다음 표를 작성합니다.
- 설명(10분): 속도 벡터를 켜고 비행 중 속도의 수평 성분과 수직 성분이 어떻게 변하는지 토론합니다.
- 확장(10분): 발사 높이를 높이거나 행성을 바꾸어 새로운 최적 각도를 찾습니다.
주의할 오개념
- "공은 최고점에서 멈춘다."최고점에서 0이 되는 것은 수직 방향의 속도뿐입니다. 속도 벡터를 켜면 비행 내내 수평 화살표의 길이가 그대로인 것을 볼 수 있습니다.
- "더 무거운 공이 더 멀리 날아간다."공기 저항이 없다면 질량은 운동에 전혀 영향을 주지 않습니다. 그래서 실험 도구에 질량 조절 슬라이더가 없습니다.
- "더 높이 올라갈수록 더 멀리 날아간다."표에서 가장 높이 올라가는 것은 발사각 75도이지만, 착지 지점은 15도일 때만큼 가깝습니다.
마무리 질문
- 어떤 두 발사각에서 사거리가 20.4 m가 되나요?
- 발사 속도를 두 배로 높이면 사거리는 어떻게 될까요? 먼저 예측한 다음 시험해 보세요.
- 멀리뛰기 선수들은 왜 45도보다 훨씬 낮은 각도로 도약할까요?