クラスで、ボールを最も遠くまで飛ばせる発射角度はどれかと尋ねると、ほとんどの生徒が45度に手を挙げます。それは正解ですが、なぜなのか説明できる生徒はごくわずかで、それに伴う2つの意外な事実を予想できる生徒はほとんどいません。この授業では、その予想を、生徒が1コマの授業で検証し、測定し、説明できるものへと変えていきます。
公式ではなく、予想から始めましょう
式を見せる前に、クラス全員に次の質問をしましょう。ボールを秒速20 mで発射します。最も遠くまで飛ぶのは、30度、45度、60度のどれでしょう？全員に投票してもらい、その理由を書き留めてもらいます。予想を紙に書いておくと、結果が面白くなります。予想が当たったか、覆されたかを確かめられるからです。
次に、ほとんどの生徒が間違える二つ目の質問をしましょう。30度と60度では、どちらのほうが遠くまで飛ぶでしょう？
実験を行う
放物運動の実験室を開きます。初速度を秒速20 mに設定し、発射高度は0 mのまま、重力は地球に設定します。45度で発射し、軌跡を消さずに30度、60度でも発射して、3つの軌跡がすべて同時に画面に表示されるようにします。
では、みんなで表を埋めてみましょう。地球上で秒速20 mに設定したとき、実験室に表示される値は次のとおりです。
| 発射角度 | 水平到達距離 | 最大高さ | 飛行時間 |
|---|---|---|---|
| 15° | 20.4 m | 1.4 m | 1.06 s |
| 30° | 35.3 m | 5.1 m | 2.04 s |
| 45° | 40.8 m | 10.2 m | 2.89 s |
| 60° | 35.3 m | 15.3 m | 3.53 s |
| 75° | 20.4 m | 19.0 m | 3.94 s |
意外な事実その1：30度と60度は同じ場所に着地する
もう一度表を見てみましょう。30度と60度はどちらも 35.3 m 離れたところに着地し、15度と75度も同じです。生徒がこれを予想することはほとんどありません。2つの軌道はまったく似ていません。60度で投げたボールは3倍の高さまで上がり、空中にいる時間もずっと長いのに、結局は同じ場所に着地します。
その理由は、相反する要素のバランスにあります。角度を大きくして投げると、鉛直方向の速度が大きくなるため、ボールは長い時間飛びますが、水平方向の速度が小さく、あまり遠くまで進みません。角度を小さくして投げると、その逆になります。飛距離はこの2つの速度の積で決まり、合計が90度になる角度では、その積がまったく同じになります。45度では2つの速度のバランスが取れるため、最も遠くまで飛ぶのです。
高校生以上向け：水平な地面での飛距離は R = v² sin 2θ / g です。sin 2θ は 2θ = 90度のとき最大になり、θ と 90度 − θ では sin 2θ の値が同じになります。
意外な事実その2：崖の上から投げる場合、45度が最適とは限らない
打ち上げる高さを上げると、最適な角度は45度より小さくなります。ボールはすでに落下する時間をより長く得ているので、速度を前方への移動に多く使うほうが有利です。秒速20 mの場合、高さ10 mからの最適な角度は約39度、高さ30 mからでは約32度です。角度を5度刻みで変えて飛距離を記録し、このことを生徒に見つけさせましょう。
モデルについて率直に話すのにもよい機会です。この実験では、多くの教科書の問題と同様に、空気抵抗を無視しています。実際のサッカーボール、やり、砲丸は、打ち出す高さの影響に加え、空気抵抗でボールの速度が落ちるため、45度より低い角度で投げ出されます。
惑星を変える
重力の設定を月に切り替えます。最適な角度は引き続き45度です。重力はどの角度でも同じように垂直方向と水平方向のバランスに影響するからです。一方、飛距離は約247 mに伸びます。月の重力は地球の約6分の1なので、距離はおよそ6倍になります。
1コマで実施できる授業案
- 導入（5分）：どの角度で最も遠くまで飛ぶかを尋ね、板に投票結果を記録します。
- 予想（5分）：生徒は選んだ角度とその理由を書き、30度と60度のどちらがより遠くまで飛ぶかを予想します。
- 実験（15分）：初速度を20 m/sに設定し、発射角を15度、30度、45度、60度、75度にして実験を行い、表に記入します。
- 解説（10分）：速度ベクトルを表示し、飛行中に速度の水平成分と鉛直成分がどのように変化するかを話し合います。
- 発展（10分）：発射位置の高さを上げるか、惑星を変えて、新たに最適な角度を見つけます。
注意すべき誤解
- 「ボールは頂点で止まる。」最高点でゼロになるのは鉛直方向の速度だけです。速度ベクトルを表示すると、飛行中ずっと水平方向の矢印の長さが変わらないことを確認できます。
- 「重いボールのほうが遠くまで飛ぶ。」空気抵抗がなければ、質量は運動にまったく関係しません。そのため、この実験には質量を調整するスライダーがありません。
- 「高く上がるほど遠くまで飛ぶ。」表の中で最も高くまで上がるのは発射角75度ですが、着地点は15度の場合と同じくらい近くなります。
最後に考える質問
- どの2つの角度で、飛距離が20.4 mになりますか？
- 発射速度を2倍にすると、飛距離はどうなりますか？まず予想してから、試してみましょう。
- 走り幅跳びの選手は、なぜ45度よりもずっと低い角度で踏み切るのでしょうか？