拋體運動教案：為什麼45度能飛得最遠，什麼情況下卻不是如此

在課堂上問學生，球以什麼發射角度飛得最遠，最多人舉手回答45度。他們答對了，但很少人能說出原因，幾乎沒有人預料到隨之而來的兩個意外發現。本課將把這個猜測變成學生能在一節課內測試、測量並解釋的內容。

從預測開始，而不是從公式開始

在展示任何公式之前，先向全班提出一個問題：一顆球以 20 m/s 的速度發射。發射角為 30 度、45 度還是 60 度時，球會落得最遠？請所有人投票，並寫下理由。把預測寫在紙上，結果才會更有意思，因為這樣就能驗證預測是否正確，或是推翻它。

接著提出第二個問題，大多數學生都會答錯：30 度和 60 度，哪個角度會落得更遠？

進行實驗

開啟拋體運動實驗室。將初速度設為 20 m/s，發射高度維持在 0 m，重力設定為地球重力。先以 45 度發射，再以 30 度和 60 度發射；不要清除軌跡，讓三條路徑同時顯示在畫面上。

現在，大家一起填寫表格。以下是在地球上以 20 m/s 發射時，實驗室提供的數值：

意外發現一：30度和60度會落在同一個位置

再看看表格。30度和60度都落在距離 35.3 m 的地方，15度和75度也一樣。學生很少能預測到這一點。兩條軌跡看起來截然不同：以60度發射的球飛得高出三倍，在空中停留的時間也長得多，但最後卻落在同一個位置。

原因在於兩者之間需要取捨。以較大的角度發射，垂直方向的速度較大，因此球會飛行很長時間，但水平方向的速度很小，無法飛得很遠。以較小的角度發射則恰好相反。射程取決於這兩個速度的乘積，而角度總和為90度的兩種發射角會得到完全相同的乘積。45度時這兩個速度達到平衡，因此射程最遠。

適合高年級學生：在平地上的射程為 R = v² sin 2θ / g。2θ = 90度時，sin 2θ 最大；而對於 θ 和 90度減去 θ，sin 2θ 的值相同。

意外發現二：從懸崖上發射時，45度不再是最佳角度

提高發射高度後，最佳角度會降至45度以下。球有更多時間下落，因此將更多速度用於向前運動會更有利。速度為20 m/s時，從10 m高處發射的最佳角度約為39度，從30 m高處發射則約為32度。讓學生以5度為間隔嘗試不同角度，並記錄射程，藉此自行找出規律。

這也是坦誠討論模型的好時機。和大多數教科書習題一樣，這個實驗忽略了空氣阻力。實際的足球、標槍或鉛球，出手角度都低於45度，部分原因是出手高度，部分原因是空氣阻力會使球減速。

更換行星

將重力預設切換為月球。最佳角度仍然是45度，因為在任何角度下，重力對垂直與水平方向之間的取捨影響方式都相同；但射程會增加至約247 m：大約是原來的六倍，因為月球重力約為地球重力的六分之一。

一節課即可完成的教案

1. 導入（5分鐘）：詢問哪個角度能讓球飛得最遠，並在板上統計投票結果。
2. 預測（5分鐘）：學生寫下自己的選擇和理由，接著預測30度和60度哪個角度能讓球飛得更遠。
3. 實驗（15分鐘）：以20 m/s的初速度分別測試15度、30度、45度、60度和75度，並填寫表格。
4. 講解（10分鐘）：開啟速度向量，討論飛行過程中速度的水平分量和垂直分量如何變化。
5. 延伸（10分鐘）：提高發射高度或更換行星，找出新的最佳角度。

需要留意的錯誤觀念

• 「球到達最高點時會停下來。」只有垂直方向的速度在最高點時為零。開啟速度向量後，學生可以看到水平箭頭在整個飛行過程中長度保持不變。
• 「較重的球會飛得更遠。」沒有空氣阻力時，質量完全不會影響運動。因此，這個實驗中沒有質量調整滑桿。
• 「飛得越高，就會飛得越遠。」表中發射角為75度時達到的高度最高，但落地點和15度時一樣近。

最後思考的問題

• 哪兩個角度對應的射程是20.4 m？
• 如果將發射速度加倍，射程會如何變化？先預測，再進行測試。
• 為什麼跳遠選手起跳時的角度遠低於45度？