Fragt man eine Klasse, bei welchem Abwurfwinkel ein Ball am weitesten fliegt, melden sich die meisten bei 45 Grad. Sie haben recht, aber nur sehr wenige können erklären, warum, und fast niemand erwartet die beiden Überraschungen, die damit einhergehen. In dieser Unterrichtsstunde wird aus dieser Vermutung etwas, das die Schülerinnen und Schüler in einer einzigen Unterrichtseinheit testen, messen und erklären können.
Beginnen Sie mit einer Vorhersage, nicht mit einer Formel
Bevor du irgendeine Gleichung zeigst, stelle der Klasse eine Frage: Ein Ball wird mit 20 m/s abgeschossen. Bei welchem Winkel landet er am weitesten entfernt: 30, 45 oder 60 Grad? Bitte alle, abzustimmen und ihre Begründung aufzuschreiben. Eine schriftliche Vorhersage macht das Ergebnis interessant, denn jetzt kann etwas bestätigt oder widerlegt werden.
Stelle anschließend eine zweite Frage, die die meisten Schülerinnen und Schüler falsch beantworten: Landet der Ball bei 30 oder bei 60 Grad weiter entfernt?
Das Experiment durchführen
Öffne das Labor für Wurfbewegungen. Stelle die Anfangsgeschwindigkeit auf 20 m/s ein, belasse die Abwurfhöhe bei 0 m und die Schwerkraft auf der Erde. Starte den Ball zunächst mit einem Winkel von 45 Grad, dann mit 30 und 60 Grad, ohne die Flugbahnen zu löschen, damit alle drei gleichzeitig auf dem Bildschirm zu sehen sind.
Füllt nun gemeinsam eine Tabelle aus. Dies sind die Werte, die das Labor bei 20 m/s auf der Erde angibt:
| Abschusswinkel | Horizontale Reichweite | Maximale Höhe | Flugzeit |
|---|---|---|---|
| 15° | 20.4 m | 1.4 m | 1.06 s |
| 30° | 35.3 m | 5.1 m | 2.04 s |
| 45° | 40.8 m | 10.2 m | 2.89 s |
| 60° | 35.3 m | 15.3 m | 3.53 s |
| 75° | 20.4 m | 19.0 m | 3.94 s |
Überraschung eins: 30 und 60 Grad führen zum selben Punkt
Schau dir die Tabelle noch einmal an. 30 und 60 Grad führen beide 35.3 m weit, genauso wie 15 und 75 Grad. Das sagen Schülerinnen und Schüler nur selten voraus. Die beiden Flugbahnen sehen völlig unterschiedlich aus: Der Ball mit 60 Grad steigt dreimal so hoch und bleibt viel länger in der Luft, landet aber trotzdem am selben Punkt.
Die Erklärung ist ein Kompromiss. Ein steiler Abschuss verleiht dem Ball viel vertikale Geschwindigkeit, sodass er lange fliegt, aber nur sehr wenig horizontale Geschwindigkeit, um Strecke zurückzulegen. Bei einem flachen Abschuss ist es umgekehrt. Die Reichweite hängt vom Produkt der beiden Geschwindigkeiten ab, und Winkel, die zusammen 90 Grad ergeben, liefern genau dasselbe Produkt. Bei 45 Grad sind die beiden Geschwindigkeiten ausgeglichen, deshalb ist dieser Winkel optimal.
Für ältere Schülerinnen und Schüler: Die Reichweite auf ebenem Boden ist R = v² sin 2θ / g. sin 2θ ist am größten, wenn 2θ = 90 Grad ist, und sin 2θ hat für θ und 90 Grad minus θ denselben Wert.
Überraschung zwei: Von einer Klippe aus sind 45 Grad nicht mehr optimal
Wenn die Abwurfhöhe steigt, sinkt der optimale Winkel unter 45 Grad. Der Ball hat bereits mehr Zeit zum Fallen, daher ist es sinnvoll, mehr Geschwindigkeit in die Vorwärtsbewegung zu investieren. Bei 20 m/s beträgt der optimale Winkel aus 10 m Höhe etwa 39 Grad und aus 30 m Höhe etwa 32 Grad. Lassen Sie die Schülerinnen und Schüler den Winkel durch Ausprobieren in 5-Grad-Schritten ermitteln und die Weite notieren.
Das ist auch ein guter Moment, um offen über das Modell zu sprechen. Wie bei den meisten Aufgaben in Schulbüchern wird der Luftwiderstand im Versuch vernachlässigt. Ein echter Fußball, Speer oder eine Kugel wird aus einem Winkel unter 45 Grad geworfen, teils wegen der Abwurfhöhe und teils, weil der Luftwiderstand den Ball abbremst.
Den Planeten wechseln
Stellen Sie die Gravitationsvorgabe auf den Mond um. Der optimale Winkel beträgt weiterhin 45 Grad, denn die Schwerkraft beeinflusst das Verhältnis zwischen vertikaler und horizontaler Bewegung bei jedem Winkel auf dieselbe Weise. Die Weite steigt jedoch auf etwa 247 m: ungefähr das Sechsfache, weil die Schwerkraft auf dem Mond etwa ein Sechstel der Erdschwerkraft beträgt.
Ein Stundenentwurf, den Sie in einer Unterrichtsstunde umsetzen können
- Einstieg (5 Minuten): Fragen, welcher Abschusswinkel den Ball am weitesten fliegen lässt, und die Stimmen an der Tafel sammeln.
- Vorhersage (5 Minuten): Die Schülerinnen und Schüler notieren ihre Wahl und eine Begründung und sagen anschließend voraus, ob 30 oder 60 Grad weiter führen.
- Experiment (15 Minuten): Die Winkel 15, 30, 45, 60 und 75 Grad bei 20 m/s ausprobieren und die Tabelle ausfüllen.
- Erklärung (10 Minuten): Die Geschwindigkeitsvektoren einblenden und besprechen, wie sich die horizontalen und vertikalen Geschwindigkeitsanteile während des Fluges verändern.
- Vertiefung (10 Minuten): Die Abschusshöhe erhöhen oder den Planeten wechseln und den neuen optimalen Winkel ermitteln.
Auf diese Fehlvorstellungen achten
- „Der Ball kommt am höchsten Punkt zum Stillstand.“Am höchsten Punkt ist nur die vertikale Geschwindigkeit null. Wenn die Geschwindigkeitsvektoren eingeblendet sind, können die Schülerinnen und Schüler sehen, dass der horizontale Pfeil während des gesamten Fluges gleich lang bleibt.
- „Ein schwererer Ball fliegt weiter.“Ohne Luftwiderstand kommt die Masse in der Bewegungsgleichung nicht vor. Deshalb gibt es im Labor keinen Schieberegler für die Masse.
- „Je höher, desto weiter.“Der Abschusswinkel von 75 Grad erreicht die größte Höhe in der Tabelle, landet aber genauso nah wie der Winkel von 15 Grad.
Abschließende Fragen
- Welche zwei Winkel ergeben eine Wurfweite von 20.4 m bei 20 m/s?
- Was passiert mit der Wurfweite, wenn du die Abschussgeschwindigkeit verdoppelst? Stelle zuerst eine Vermutung an und probiere es dann aus.
- Warum springen Weitspringer mit einem viel kleineren Winkel als 45 Grad ab?