抛体运动教案：为什么45度能飞得最远，什么情况下却不是这样

在课堂上问学生，球以什么发射角度飞得最远，举手最多的答案是45度。他们答对了，但很少有人能说出原因，几乎没人能预料到随之而来的两个意外发现。本课将把这个猜测变成学生能在一节课内检验、测量并解释的内容。

从预测开始，而不是从公式开始

在展示任何公式之前，先向全班提出一个问题：一个球以 20 m/s 的速度发射。发射角为 30 度、45 度还是 60 度时，球会落得最远？请所有人投票，并写下理由。把预测写在纸上，结果才会更有意思，因为这样就能验证预测是否正确，或者推翻它。

接着提出第二个问题，大多数学生都会答错：30 度和 60 度，哪个角度会落得更远？

进行实验

打开抛体运动实验室。将初速度设为 20 m/s，发射高度保持为 0 m，重力设为地球重力。先以 45 度发射，再以 30 度和 60 度发射；不要清除轨迹，这样三条路径就会同时显示在屏幕上。

现在，大家一起填写一张表。以下是在地球上以 20 m/s 发射时，实验室给出的数值：

意外发现一：30度和60度会落在同一个位置

再看看表格。30度和60度都落在距离 35.3 m 的地方，15度和75度也一样。学生很少能预测到这一点。两条轨迹看起来截然不同：以60度发射的球飞得高出三倍，在空中停留的时间也长得多，但最终却落在同一个位置。

原因在于两者之间需要取舍。以较大的角度发射，垂直方向的速度较大，因此球会飞行很长时间，但水平方向的速度很小，无法飞出很远。以较小的角度发射则恰好相反。射程取决于这两个速度的乘积，而角度之和为90度的两种发射角会得到完全相同的乘积。45度时这两个速度达到平衡，因此射程最远。

适合高年级学生：在平地上的射程为 R = v² sin 2θ / g。2θ = 90度时，sin 2θ 最大；而对于 θ 和 90度减去 θ，sin 2θ 的值相同。

意外发现二：从悬崖上发射时，45度不再是最佳角度

提高发射高度后，最佳角度会降到45度以下。球有更多时间下落，因此把更多速度用于向前运动更有利。速度为20 m/s时，从10 m高处发射的最佳角度约为39度，从30 m高处发射则约为32度。让学生以5度为步长尝试不同角度，并记录射程，从而自行发现这一规律。

这也是坦诚讨论模型的好时机。和大多数教科书习题一样，这个实验忽略了空气阻力。现实中的足球、标枪或铅球，出手角度都低于45度，部分原因是出手高度，部分原因是空气阻力会使球减速。

更换行星

将重力预设切换为月球。最佳角度仍然是45度，因为在任何角度下，重力对垂直和水平方向之间的权衡影响方式都相同；但射程会增加到约247 m：大约是原来的六倍，因为月球重力约为地球重力的六分之一。

一节课即可完成的教案

1. 导入（5分钟）：询问哪个角度能让球飞得最远，并在板上统计投票结果。
2. 预测（5分钟）：学生写下自己的选择和理由，然后预测30度和60度哪个角度能让球飞得更远。
3. 实验（15分钟）：以20 m/s的初速度分别测试15度、30度、45度、60度和75度，并填写表格。
4. 讲解（10分钟）：打开速度矢量，讨论飞行过程中速度的水平分量和竖直分量如何变化。
5. 拓展（10分钟）：提高发射高度或更换行星，找出新的最佳角度。

需要留意的错误概念

• “球到达最高点时会停下来。”只有竖直方向的速度在最高点时为零。打开速度矢量后，学生可以看到水平箭头在整个飞行过程中长度保持不变。
• “较重的球会飞得更远。”没有空气阻力时，质量不会影响运动。因此，这个实验中没有质量调节滑块。
• “飞得越高，就会飞得越远。”表中发射角为75度时达到的高度最高，但落地点和15度时一样近。

最后思考的问题

• 哪两个角度对应的射程是20.4 m？
• 如果将发射速度加倍，射程会怎样变化？先预测，再进行测试。
• 为什么跳远运动员起跳时的角度远低于45度？