Orbite di trasferimento di Hohmann

Informazioni su questo esperimento

Un’astronave non può volare in linea retta fino a Marte. Si muove per inerzia intorno al Sole seguendo un’ellisse che tocca l’orbita terrestre a un’estremità e quella marziana all’altra: un trasferimento di Hohmann, la rotta che richiede meno carburante tra due orbite circolari. Il viaggio dura mesi, quindi l’astronave deve essere lanciata quando Marte si trova alla giusta distanza più avanti; altrimenti, il pianeta non sarà lì quando l’astronave arriverà. Scegli due pianeti, fai avanzare il tempo, trova la prossima finestra di lancio e parti.

Obiettivi di apprendimento

Descrivi un’orbita di trasferimento di Hohmann come metà di un’ellisse che tocca entrambe le orbite planetarie
Usa la terza legge di Keplero per calcolare il tempo di trasferimento
Spiega perché esistono finestre di lancio e perché si ripetono dopo un periodo sinodico
Calcola le due variazioni di velocità necessarie per un trasferimento
Confronta i trasferimenti verso i pianeti interni e quelli esterni

Come si usa

1Parti direttamente per Marte il 1º gennaio 2026. Dove si troverà Marte quando l’astronave raggiungerà la sua orbita?
2Premi «Reimposta», poi «Prossima finestra di lancio». Confronta l’angolo di anticipo del bersaglio con quello necessario, quindi parti.
3Leggi il tempo di volo e verificalo con Keplero: metà del periodo di un’orbita il cui semiasse maggiore è la media dei due raggi.
4Vai alla finestra successiva a quella che hai usato. Quanti giorni dopo si verifica? Confrontala con il valore «Le finestre si ripetono ogni».
5Scegli Venere come obiettivo. L’angolo di anticipo necessario è positivo o negativo? Perché?
6Prova con Giove e Saturno. Come cambiano il tempo di volo e il Δv?

Il modello

a_{t} = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}, t = π \frac{a _{t}^{3}}{GM}

Tempo di trasferimento: mezza orbita sull’ellisse, secondo la terza legge di Keplero

Δ v_{1} = \frac{GM}{r _{1}} (\frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1)

Prima manovra: accelerare dall’orbita circolare del pianeta di partenza per immettersi sull’ellisse

Δ v_{2} = \frac{GM}{r _{2}} (1 - \frac{2 r _{1}}{r _{1} + r _{2}})

Seconda manovra: adeguarsi all’orbita circolare dell’obiettivo

θ = π - ω_{2} t

Angolo di anticipo al lancio: l’obiettivo si sposta di ω₂t mentre il veicolo percorre mezzo giro

\frac{1}{T _{syn}} = \frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}}

Periodo sinodico: ogni quanto i pianeti tornano nella stessa configurazione

Ipotesi

Tutti i pianeti si muovono a velocità costante su orbite circolari sullo stesso piano. Le orbite reali sono leggermente ellittiche e inclinate, quindi le finestre e i tempi di volo reali differiscono di alcune settimane.
Le posizioni dei pianeti vengono calcolate a partire dalle loro posizioni medie al 1º gennaio 2000 e dai loro periodi orbitali; perciò le finestre di lancio cadono all’incirca in prossimità delle date reali (dalla Terra a Marte: aprile 2001, luglio 2005 e agosto 2007).
La gravità dei pianeti stessi viene ignorata. Δv è la variazione rispetto alla velocità orbitale del pianeta, non rispetto alla velocità al suolo; quindi non sono inclusi né l’allontanamento dal pianeta né l’atterraggio.
Le accensioni dei motori sono istantanee e, tra una e l’altra, il veicolo è soggetto soltanto alla gravità del Sole.

Provalo in classe

Q1Perché una missione su Marte deve aspettare circa 26 mesi per la successiva finestra di lancio?
Q2Un trasferimento di Hohmann verso Saturno richiede circa 6 anni. Perché le missioni reali sfruttano invece i sorvoli di altri pianeti?
Q3Perché anche il trasferimento verso un pianeta interno come Venere è un trasferimento di Hohmann, nonostante il veicolo debba rallentare?
Q4Dopo essere arrivati su Marte con un trasferimento di Hohmann, gli astronauti vogliono tornare a casa. Perché devono aspettare su Marte per più di un anno?
Q5Perché il tempo di trasferimento verso Marte è molto più breve della metà del periodo orbitale di Marte?

Domande frequenti

Il trasferimento di Hohmann è il modo più rapido per raggiungere un altro pianeta?

No. Per due orbite circolari è quello che consuma meno carburante, ma non è il più rapido. Una prima accensione più potente porta il veicolo spaziale su un’orbita più veloce e allungata, che interseca prima l’orbita del pianeta di destinazione, al costo di un maggiore consumo di carburante.

Perché il veicolo spaziale non vola in linea retta?

Tra un’accensione e l’altra, il motore è spento e l’unica forza che agisce è la gravità del Sole. Qualsiasi oggetto che si muova soltanto sotto l’influenza della gravità solare segue un’ellisse; perciò il veicolo spaziale procede lungo un’orbita ellittica, proprio come un pianeta.

Perché l’angolo di anticipo necessario per Venere è negativo?

Venere si muove più velocemente della Terra. Durante il trasferimento percorre più di metà orbita, quindi al momento del lancio Venere deve trovarsi dietro la Terra, non davanti.