Simulation de Orbites de transfert de Hohmann

À propos de cette expérience

Un vaisseau spatial ne peut pas se rendre en ligne droite jusqu’à Mars. Il suit autour du Soleil une ellipse qui touche l’orbite terrestre à une extrémité et l’orbite martienne à l’autre : un transfert de Hohmann, la trajectoire qui consomme le moins de carburant entre deux orbites circulaires. Le trajet prend des mois ; il faut donc lancer le vaisseau lorsque Mars se trouve à la bonne distance devant lui, sinon la planète ne sera pas là à son arrivée. Choisissez deux planètes, faites avancer le temps, trouvez la prochaine fenêtre de lancement et lancez-vous.

Objectifs pédagogiques

Décrivez une orbite de transfert de Hohmann comme une demi-ellipse qui touche les deux orbites planétaires
Utilisez la troisième loi de Kepler pour calculer la durée du transfert
Expliquez pourquoi il existe des fenêtres de lancement et pourquoi elles se répètent après une période synodique
Calculez les deux changements de vitesse nécessaires pour un transfert
Comparez les transferts vers les planètes intérieures et extérieures

Comment l’utiliser

1Lancez-vous directement vers Mars le 1er janvier 2026. Où se trouvera Mars lorsque le vaisseau atteindra son orbite ?
2Appuyez sur « Réinitialiser », puis sur « Prochaine fenêtre de lancement ». Comparez l’angle d’avance de la cible à l’angle requis, puis lancez-vous.
3Lis le temps de vol et vérifie-le avec Kepler : la moitié de la période d’une orbite dont le demi-grand axe est égal à la moyenne des deux rayons.
4Passe à la fenêtre suivante après celle que tu as utilisée. Combien de jours plus tard a-t-elle lieu ? Compare avec l’indication « Les fenêtres se répètent tous les ».
5Choisis Vénus comme cible. L’angle d’avance nécessaire est-il positif ou négatif ? Pourquoi ?
6Essaie avec Jupiter et Saturne. Comment le temps de vol et le Δv changent-ils ?

Le modèle

a_{t} = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}, t = π \frac{a _{t}^{3}}{GM}

Durée du transfert : une demi-orbite sur l’ellipse, selon la troisième loi de Kepler

Δ v_{1} = \frac{GM}{r _{1}} (\frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1)

Première impulsion : accélérer depuis l’orbite circulaire de la planète de départ pour rejoindre l’ellipse

Δ v_{2} = \frac{GM}{r _{2}} (1 - \frac{2 r _{1}}{r _{1} + r _{2}})

Deuxième impulsion : s’aligner sur l’orbite circulaire de la cible

θ = π - ω_{2} t

Angle d’avance au lancement : la cible se déplace de ω₂t tandis que le véhicule parcourt un demi-tour

\frac{1}{T _{syn}} = \frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}}

Période synodique : fréquence à laquelle les planètes retrouvent la même configuration

Hypothèses

Toutes les planètes se déplacent à vitesse constante sur des orbites circulaires dans le même plan. Les orbites réelles sont légèrement elliptiques et inclinées ; les fenêtres et les temps de vol réels diffèrent donc de quelques semaines.
Les positions des planètes sont calculées à partir de leurs positions moyennes au 1er janvier 2000 et de leurs périodes orbitales. Les fenêtres de lancement tombent donc à peu près aux dates réelles (de la Terre vers Mars : avril 2001, juillet 2005 et août 2007).
La gravité des planètes elles-mêmes est ignorée. Δv correspond à la variation par rapport à la vitesse orbitale de la planète, et non par rapport à la vitesse au sol ; l’échappement de la planète et l’atterrissage ne sont donc pas pris en compte.
Les impulsions sont instantanées et, entre elles, le vaisseau ne subit que la gravité du Soleil.

À essayer en classe

Q1Pourquoi une mission vers Mars doit-elle attendre environ 26 mois avant la prochaine fenêtre de lancement ?
Q2Un transfert de Hohmann vers Saturne prend environ 6 ans. Pourquoi les missions réelles effectuent-elles plutôt des survols d’autres planètes ?
Q3Pourquoi le transfert vers une planète intérieure comme Vénus est-il également un transfert de Hohmann, même si le vaisseau doit ralentir ?
Q4Après être arrivés sur Mars par un transfert de Hohmann, les astronautes veulent rentrer chez eux. Pourquoi doivent-ils attendre plus d’un an sur Mars ?
Q5Pourquoi la durée du transfert vers Mars est-elle bien inférieure à la moitié de la période orbitale de Mars ?

Foire aux questions

Le transfert de Hohmann est-il le moyen le plus rapide d’atteindre une autre planète ?

Non. Pour deux orbites circulaires, c’est celui qui consomme le moins de carburant, mais ce n’est pas le plus rapide. Une première impulsion plus puissante place le vaisseau sur une orbite plus rapide et plus allongée, qui croise plus tôt l’orbite de la planète cible, au prix d’une consommation de carburant supérieure.

Pourquoi le vaisseau ne vole-t-il pas en ligne droite ?

Entre les impulsions, le moteur est éteint et la seule force qui agit est la gravité du Soleil. Tout objet soumis uniquement à la gravité solaire suit une ellipse ; le vaisseau suit donc lui aussi une trajectoire elliptique, comme une planète.

Pourquoi l’angle d’avance nécessaire pour Vénus est-il négatif ?

Vénus se déplace plus vite que la Terre. Pendant le transfert, elle parcourt plus d’une demi-orbite. Au moment du lancement, Vénus doit donc se trouver derrière la Terre, et non devant elle.