弹簧-质量振子

高中物理具有线性阻力、从静止状态释放时阻尼弹簧的精确运动

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关于此实验

从伸长的水平弹簧上释放一个物块，并跟踪它的位置、速度和机械能。改变阻尼，比较反复振荡、无振荡且最快返回，以及过阻尼时缓慢返回的情况。运动物块和时间图使用相同的解析解，因此无论暂停还是拖动时间轴，每次显示的状态都相同。

学习目标

了解质量和刚度与弹簧振子的固有频率之间的关系
区分欠阻尼、临界阻尼和过阻尼运动
说明与速度成正比的阻力导致的机械能损失
从位移-时间图中读取周期、振幅和衰减
说明阻尼振荡器在现实生活中的应用，从汽车悬架到测量仪器

使用方法

1使用默认设置并点击播放。在第一次经过平衡位置附近时暂停，比较位置、速率和能量。
2将阻尼设为零，并比较几个不同时刻的机械能。
3选择“临界阻尼”，并与阻尼系数更大时的返回过程进行比较。
4保持刚度不变，增加质量并重置时间，然后比较振荡周期。
5将阻尼设为临界阻尼值的一半左右，并数一数振幅减半需要摆动多少次。

模型

m x ¨ + b x ˙ + k x = 0

受与速度成正比的阻力作用的线性弹簧方程

ω_{0} = k / m, ζ = \frac{b}{2 k m}

固有角频率和阻尼比

E = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}, \frac{d E}{d t} = - b x ˙^{2}

机械能与耗散损失率

T_{d} = \frac{2 π}{k / m - ( b /2 m ) ^{2}} (ζ < 1)

欠阻尼状态下的振荡周期

假设

弹簧无质量且为线性弹簧，质量块在没有干摩擦的情况下水平运动。
阻尼力的方向与速度相反，系数 b 为常数。没有外部驱动力。
每次运行都从选定的位移和零速度开始。更改模型参数会重置时间。
所有阻尼状态均使用解析解。图示是对同一位移的示意，而非由独立的数值物理引擎生成。

在课堂上试试这个实验

Q1对于无阻尼振子，为什么速度在平衡位置附近最大？
Q2阻尼越强，质量块就一定越快回到平衡位置吗？比较临界阻尼和过阻尼。
Q3质量增加到四倍时，固有周期会怎样变化？
Q4汽车减震器的设计目标是接近临界阻尼。如果它们严重欠阻尼，乘坐起来会是什么感觉？
Q5两个弹簧连接了相同的质量，但其中一个的刚度是另一个的四倍。它们的周期如何比较？

常见问题

机械能会保持不变吗？

当 b 为零时，它保持不变。当阻尼为正时，能量以 b 乘以速度平方的速率转化为未追踪的热能；显示的机械能会减少。

为什么临界阻尼或过阻尼运动不显示周期？

这些状态下的运动不会重复振荡就会返回，因此振荡周期没有定义。

振幅会改变周期吗？

对于理想的线性弹簧，不会。周期只取决于质量、刚度和阻尼，因此即使弹簧钟和摆钟的摆幅逐渐减小，它们仍能保持准确计时。