彈簧－質量振子

高中物理具有線性阻力、從靜止狀態釋放時阻尼彈簧的精確運動

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關於此實驗

從伸長的水平彈簧上釋放一個物塊，並追蹤它的位置、速度和機械能。改變阻尼，比較反覆振盪、無振盪且最快返回，以及過阻尼時緩慢返回的情況。運動物塊和時間圖使用相同的解析解，因此無論暫停還是拖曳時間軸，每次顯示的狀態都相同。

學習目標

了解質量和剛度與彈簧振子的固有頻率之間的關係
區分欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼運動
說明與速度成正比的阻力所造成的機械能損失
從位移－時間圖中讀取週期、振幅和衰減
說明阻尼振盪器在現實生活中的應用，從汽車懸吊到測量儀器

使用方法

1使用預設設定並按下播放。在第一次經過平衡位置附近時暫停，比較位置、速率和能量。
2將阻尼設為零，並比較幾個不同時間點的機械能。
3選擇「臨界阻尼」，並與阻尼係數較大時的返回過程進行比較。
4保持剛度不變，增加質量並重設時間，然後比較振盪週期。
5將阻尼設為臨界阻尼值的一半左右，並數一數振幅減半需要擺動幾次。

模型

m x ¨ + b x ˙ + k x = 0

受與速度成正比的阻力作用的線性彈簧方程式

ω_{0} = k / m, ζ = \frac{b}{2 k m}

固有角頻率與阻尼比

E = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}, \frac{d E}{d t} = - b x ˙^{2}

機械能與耗散損失率

T_{d} = \frac{2 π}{k / m - ( b /2 m ) ^{2}} (ζ < 1)

欠阻尼狀態下的振盪週期

假設

彈簧無質量且為線性彈簧，質量塊在沒有乾摩擦的情況下水平移動。
阻尼力的方向與速度相反，係數 b 為常數。沒有外部驅動力。
每次執行都從選定的位移和零速度開始。變更模型參數會重設時間。
所有阻尼狀態均使用解析解。圖示是對同一位移的示意，而非由獨立的數值物理引擎產生。

在課堂上試試這個實驗

Q1對於無阻尼振子，為什麼速度在平衡位置附近最大？
Q2阻尼越強，質量塊就一定越快回到平衡位置嗎？比較臨界阻尼與過阻尼。
Q3質量增加到四倍時，固有週期會如何變化？
Q4汽車避震器的設計目標是接近臨界阻尼。如果它們嚴重欠阻尼，乘坐起來會是什麼感覺？
Q5兩個彈簧連接了相同的質量，但其中一個的剛度是另一個的四倍。它們的週期如何比較？

常見問題

機械能會保持不變嗎？

當 b 為零時，它會保持不變。當阻尼為正時，能量會以 b 乘以速度平方的速率轉換為未追蹤的熱能；顯示的機械能會減少。

為什麼臨界阻尼或過阻尼運動不會顯示週期？

這些狀態下的運動不會重複振盪就會返回，因此振盪週期沒有定義。

振幅會改變週期嗎？

對於理想的線性彈簧，不會。週期只取決於質量、剛度和阻尼，因此即使彈簧鐘和擺鐘的擺幅逐漸減小，它們仍能保持準確計時。