ばね・質量振動子

高等学校物理線形抵抗があり、静止状態から放した場合の減衰ばねの厳密な運動

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この実験について

伸ばした水平ばねからおもりを放し、その位置、速度、力学的エネルギーを追跡します。減衰を変えて、繰り返す振動、振動せずに最も速く戻る場合、そして過減衰でゆっくり戻る場合を比較しましょう。動くおもりと時間グラフには同じ解析解が使われているため、一時停止やスクラブをしても毎回同じ状態が表示されます。

学習目標

おもりの質量とばねの剛性が、ばね振動子の固有振動数にどう関係するかを確認する
不足減衰、臨界減衰、過減衰の運動を見分ける
速度に比例する抵抗力による力学的エネルギーの損失を説明する
変位‐時間グラフから周期、振幅、減衰を読み取る
自動車のサスペンションから測定器まで、減衰振動子が実生活のどこで使われているか説明する

使い方

1初期設定のまま再生ボタンを押します。最初に平衡位置を通過する少し前で一時停止し、位置、速さ、エネルギーを比較しましょう。
2減衰をゼロに設定し、いくつかの時刻で力学的エネルギーを比較します。
3「臨界減衰」を選び、より大きな減衰係数の場合と戻り方を比較します。
4ばねの剛性を一定に保ったまま質量を増やし、時間をリセットして振動周期を比較します。
5減衰を臨界減衰の約半分に設定し、振幅が半分になるまでに何回揺れるか数える。

モデル

m x ¨ + b x ˙ + k x = 0

速度に比例する抵抗力を受ける線形ばねの運動方程式

ω_{0} = k / m, ζ = \frac{b}{2 k m}

固有角振動数と減衰比

E = \frac{1}{2} m x ˙^{2} + \frac{1}{2} k x^{2}, \frac{d E}{d t} = - b x ˙^{2}

力学的エネルギーと散逸による損失率

T_{d} = \frac{2 π}{k / m - ( b /2 m ) ^{2}} (ζ < 1)

不足減衰領域での振動周期

前提条件

ばねは質量のない線形ばねで、質量は乾燥摩擦なしに水平方向へ動きます。
減衰力は速度と逆向きに働き、係数 b は一定です。外力はありません。
各実行は、選択した変位と速度ゼロの状態から始まります。モデルパラメーターを変更すると、時間はリセットされます。
すべての減衰領域で解析解を使用します。図は同じ変位を模式的に示したもので、別個の数値物理エンジンによるものではありません。

授業で試してみましょう

Q1減衰のない振動子では、なぜ平衡点付近で速度が最大になるのでしょうか？
Q2減衰を強くすると、質量は必ずより早く平衡点に戻るのでしょうか？臨界減衰と過減衰を比較してください。
Q3質量を4倍にすると、固有周期はどうなりますか？
Q4自動車のショックアブソーバーは、臨界減衰に近くなるよう設計されています。減衰が大幅に不足していたら、乗り心地はどのようになるでしょうか？
Q5同じ質量を取り付けた2本のばねがありますが、一方はもう一方の4倍の硬さです。それぞれの周期はどのように比較できますか？

よくある質問

力学的エネルギーは一定に保たれますか？

b がゼロのとき、これは一定のままです。減衰が正の場合、エネルギーは速度の二乗に b を掛けた割合で、追跡されない熱エネルギーに変換されます。表示される力学的エネルギーは減少します。

臨界減衰または過減衰の運動では、なぜ周期が表示されないのですか？

これらの状態では振動を繰り返さずに元の位置に戻るため、振動の周期は定義されません。

振幅によって周期は変わりますか？

理想的な線形ばねの場合は変わりません。周期は質量、ばね定数、減衰のみに依存します。そのため、ばね時計や振り子時計は、振れがゆっくり小さくなっても正確な時を刻み続けます。