关于此实验
一个能量不足以翻越高山的球滚动后总会退回来。量子粒子却不一定如此：它的波函数会渗入势垒并呈指数衰减；如果势垒足够薄，波函数的一部分就会从另一侧透出。本实验将对一个或两个矩形势垒精确求解薛定谔方程。改变能量、势垒高度和宽度，将电子换成质量更大的μ子或质子，看看为什么隧穿效应对芯片和显微镜中的电子很重要，却几乎不会发生在日常物体中。
学习目标
- 写出矩形势垒内外的定态薛定谔方程解
- 解释在每个边界处匹配 ψ 和 dψ/dx 如何确定透射与反射
- 证明对于又厚又高的势垒，透射率大致按 e^(−2κa) 衰减
- 解释为什么透射率如此强烈地依赖于粒子质量
- 描述高于势垒时的透射共振，以及粒子穿过两个势垒时的共振隧穿
使用方法
- 1使用默认电子，读取 T。将势垒宽度加倍。T 大约会下降到原来的几分之几？与 e^(−2κa) 的估算值进行比较。
- 2打开对数刻度，观察随着势垒变宽，log T 如何变化。为什么它几乎是一条直线？
- 3保持 E、V₀ 和 a 不变，将电子依次替换为 μ 子和质子。用 κ 解释这种变化。
- 4将 E 提高到 V₀ 以上。找出使 T = 1 的能量。说明在这些能量下，势垒宽度恰好容纳整数个半波长。
- 5选择两个势垒，在下方图表中缓慢拖动 E。找出使 T 达到 1 的尖锐峰值，尽管单个势垒只能让几个百分点的粒子通过。
- 6在共振时，观察两个势垒之间的 |ψ|²。粒子在那里有什么表现？
模型
假设
- 一维情形下，势能与时间无关，由平坦的阶梯组成；粒子的稳态束流从左侧入射。
- 粒子的能量是确定的，因此波函数处于定态。真实粒子是一个波包，其能量分布在一定范围内。
- 动画中的曲线是 ψ e^(−iEt/ħ) 的实部。实际相位旋转得快得多；这里放慢了速度，以便观察波峰的运动。
- ψ 和 dψ/dx 在每个边界处都连续。系数通过 2 × 2 转移矩阵精确求得，无需数值积分。
- 对于极厚的势垒，重粒子的透射率会低于 10^−300。此时只显示近似值 e^(−2κa)。
在课堂上试试这个实验
- Q1一个能量为 1 eV 的电子遇到一个 3 eV 的势垒。求 κ，以及 ψ 衰减为原来的 1/e 所需的距离。
- Q2对于同一个电子和宽度为 1 nm 的势垒，使用厚势垒公式估算 T。
- Q3当 E 略高于 V₀ 时，为什么 T 不为零，而在某些更高的能量下却恰好为 1？
- Q4扫描隧道显微镜中，探针再远离 0.1 nm，电流就会下降约 10 倍。使用 e^(−2κd) 估算 κ。
- Q5解释为什么对于能量相近的 α 粒子，α 衰变的半衰期会从微秒到数十亿年不等。
常见问题
粒子在势垒内部会损失能量吗？
不会。定态在任何位置都具有相同的能量。在势垒内部，动能项在形式上为负，因此解是衰减的指数函数，而不是波。透射粒子的能量与入射粒子相同。
隧穿效应用在哪里？
扫描隧道显微镜、闪存（电子隧穿通过一层薄氧化层，为浮栅充电）、隧道二极管和共振隧道二极管、约瑟夫森结、α衰变，以及太阳内部的核聚变（质子隧穿通过彼此间的电斥力）中都会出现这种现象。
有两个势垒时，为什么在某些特定能量处 T 会达到 1？
两个势垒之间的区域就像一个具有准束缚能级的盒子。当 E 与其中一个能级匹配时，来回反射的波会发生干涉，使所有反射波相互抵消，就像光学法布里-珀罗干涉仪中的情况一样。这就是共振隧穿。