關於此實驗
能量不足以翻越高山的球滾動後總會退回來。量子粒子卻不一定如此：它的波函數會滲入位障並呈指數衰減；如果位障夠薄，波函數的一部分就會從另一側透出。本實驗將對一個或兩個矩形位障精確求解薛丁格方程式。改變能量、位障高度和寬度，將電子換成質量更大的 μ 子或質子，看看為什麼穿隧效應對晶片和顯微鏡中的電子很重要，卻幾乎不會發生在日常物體中。
學習目標
- 寫出矩形位障內外的定態薛丁格方程式解
- 說明在每個邊界處匹配 ψ 和 dψ/dx 如何決定透射與反射
- 證明對於又厚又高的位障，透射率大致依照 e^(−2κa) 衰減
- 解釋為什麼透射率如此強烈地取決於粒子質量
- 描述能量高於位障時的透射共振，以及粒子穿過兩個位障時的共振穿隧
使用方法
- 1使用預設電子，讀取 T。將位障寬度加倍。T 大約會降至原來的幾分之幾？與 e^(−2κa) 的估算值比較。
- 2開啟對數刻度，觀察位障加寬時 log T 如何變化。為什麼它幾乎是一條直線？
- 3保持 E、V₀ 和 a 不變，依序將電子換成 μ 子和質子。用 κ 解釋這項變化。
- 4將 E 提高到 V₀ 以上。找出使 T = 1 的能量。說明在這些能量下，位障寬度恰好容納整數個半波長。
- 5選擇兩個位障，在下方圖表中緩慢拖曳 E。找出使 T 達到 1 的尖銳峰值，儘管單一位障只能讓百分之幾的粒子通過。
- 6在共振時，觀察兩個位障之間的 |ψ|²。粒子在那裡有什麼表現？
模型
假設
- 一維情形下，位能與時間無關，由平坦的階梯組成；粒子的穩態束流從左側入射。
- 粒子的能量是確定的，因此波函數處於定態。真實粒子是波包，其能量分布在一定範圍內。
- 動畫中的曲線是 ψ e^(−iEt/ħ) 的實部。實際相位旋轉得快得多；這裡放慢了速度，以便觀察波峰的運動。
- ψ 和 dψ/dx 在每個邊界處都連續。係數透過 2 × 2 轉移矩陣精確求得，無需數值積分。
- 對於極厚的位能障，重粒子的透射率會低於 10^−300。此時只顯示近似值 e^(−2κa)。
在課堂上試試這個實驗
- Q1一個能量為 1 eV 的電子遇到一個 3 eV 的位能障。求 κ，以及 ψ 衰減為原來 1/e 所需的距離。
- Q2對於同一個電子和寬度為 1 nm 的位障，使用厚位障公式估算 T。
- Q3當 E 略高於 V₀ 時，為什麼 T 不為零，而在某些更高的能量下卻恰好為 1？
- Q4掃描穿隧顯微鏡中，探針再遠離 0.1 nm，電流就會下降約 10 倍。使用 e^(−2κd) 估算 κ。
- Q5解釋為什麼對於能量相近的 α 粒子，α 衰變的半衰期會從微秒到數十億年不等。
常見問題
粒子在位障內部會損失能量嗎？
不會。定態在任何位置都具有相同的能量。在位障內部，動能項在形式上為負，因此解是衰減的指數函數，而不是波。穿透後的粒子能量與入射粒子相同。
穿隧效應用在哪裡？
掃描穿隧顯微鏡、快閃記憶體（電子穿隧通過一層薄氧化層，為浮閘充電）、穿隧二極體和共振穿隧二極體、約瑟夫森接面、α 衰變，以及太陽內部的核融合（質子穿隧通過彼此間的電斥力）中都會出現這種現象。
有兩個位障時，為什麼在某些特定能量處 T 會達到 1？
兩個位障之間的區域就像一個具有準束縛能階的盒子。當 E 與其中一個能階相符時，來回反射的波會發生干涉，使所有反射波相互抵消，就像光學法布里－珀羅干涉儀中的情況一樣。這就是共振穿隧。