Acerca de este experimento
Una pelota que rueda hacia una colina demasiado alta para su energía siempre vuelve rodando. Una partícula cuántica no: su función de onda penetra en la barrera, decae exponencialmente y, si la barrera es lo bastante delgada, una parte sale por el otro lado. Este laboratorio resuelve exactamente la ecuación de Schrödinger para una o dos barreras rectangulares. Cambia la energía, la altura y la anchura; sustituye el electrón por un muón o un protón más pesado, y descubre por qué el efecto túnel es importante para los electrones en los chips y los microscopios, pero casi nunca para los objetos cotidianos.
Objetivos de aprendizaje
- Escribe las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dentro y fuera de una barrera rectangular
- Explica cómo la continuidad de ψ y dψ/dx en cada borde determina la transmisión y la reflexión
- Demuestra que la transmisión disminuye aproximadamente como e^(−2κa) en una barrera alta y gruesa
- Explica por qué la transmisión depende tanto de la masa de la partícula
- Describe las resonancias de transmisión por encima de una barrera y el efecto túnel resonante a través de dos barreras
Cómo usarlo
- 1Con el electrón predeterminado, lee T. Duplica la anchura de la barrera. ¿Por qué factor aproximado disminuye T? Compáralo con la estimación e^(−2κa).
- 2Activa la escala logarítmica y observa cómo cambia log T al ensanchar la barrera. ¿Por qué es casi una línea recta?
- 3Sustituye el electrón por un muón y luego por un protón, manteniendo constantes E, V₀ y a. Explica el cambio usando κ.
- 4Aumenta E por encima de V₀. Encuentra energías para las que T = 1 exactamente. Demuestra que, en esas energías, la anchura de la barrera contiene un número entero de semilongitudes de onda.
- 5Elige dos barreras y arrastra E lentamente en el gráfico inferior. Encuentra los picos pronunciados donde T alcanza 1, aunque una sola barrera deje pasar solo unos pocos puntos porcentuales.
- 6En una resonancia, observa |ψ|² entre las barreras. ¿Qué hace allí la partícula?
El modelo
Supuestos
- Una dimensión, un potencial independiente del tiempo formado por escalones constantes y un haz estacionario de partículas que llega desde la izquierda.
- La partícula tiene una energía definida, por lo que la función de onda es un estado estacionario. Una partícula real es un paquete de ondas que se extiende a lo largo de un intervalo de energías.
- La curva animada es la parte real de ψ e^(−iEt/ħ). En realidad, la fase gira mucho más rápido; se ralentiza para que se pueda ver el movimiento de las crestas.
- ψ y dψ/dx son continuas en cada borde. Los coeficientes se encuentran exactamente mediante matrices de transferencia 2 × 2, sin integración numérica.
- Las barreras muy gruesas para partículas pesadas dan transmisiones inferiores a 10^−300. En ese caso, solo se muestra la estimación e^(−2κa).
Pruébalo en clase
- Q1Un electrón de 1 eV se encuentra con una barrera de 3 eV. Calcula κ y la distancia a lo largo de la cual ψ disminuye por un factor e.
- Q2Usa la fórmula para una barrera gruesa para estimar T para el mismo electrón y una barrera de 1 nm de ancho.
- Q3¿Por qué T no es cero cuando E es un poco mayor que V₀, pero es exactamente 1 a ciertas energías más altas?
- Q4La corriente de un microscopio de efecto túnel disminuye aproximadamente por un factor de 10 cuando la punta se aleja 0,1 nm más. Usa e^(−2κd) para estimar κ.
- Q5Explica por qué las semividas de la desintegración alfa varían desde microsegundos hasta miles de millones de años, aunque las energías de las partículas alfa sean similares.
Preguntas frecuentes
¿Pierde energía la partícula dentro de la barrera?
No. El estado estacionario tiene la misma energía en todas partes. Dentro de la barrera, el término de energía cinética es formalmente negativo, por lo que la solución es una exponencial decreciente en lugar de una onda. Una partícula transmitida tiene la misma energía que la partícula incidente.
¿Dónde se utiliza el efecto túnel?
En el microscopio de efecto túnel, en la memoria flash (los electrones atraviesan por efecto túnel una fina capa de óxido para cargar la puerta flotante), en los diodos túnel y los diodos túnel resonantes, las uniones de Josephson, la desintegración alfa y la fusión nuclear en el Sol, donde los protones atraviesan por efecto túnel la repulsión eléctrica entre ellos.
¿Por qué T alcanza el valor 1 en ciertas energías cuando hay dos barreras?
La región entre las barreras actúa como una caja con niveles de energía cuiligados. Cuando E coincide con uno de ellos, las ondas reflejadas una y otra vez interfieren de modo que todas las ondas reflejadas se cancelan, como en un interferómetro de Fabry-Pérot para la luz. Esto es el efecto túnel resonante.