À propos de cette expérience
Une balle qui roule vers une colline trop haute pour son énergie finit toujours par redescendre. Ce n’est pas le cas d’une particule quantique : sa fonction d’onde pénètre dans la barrière, décroît de façon exponentielle et, si la barrière est assez mince, une partie ressort de l’autre côté. Ce laboratoire résout exactement l’équation de Schrödinger pour une ou deux barrières rectangulaires. Modifiez l’énergie, la hauteur et la largeur, remplacez l’électron par un muon ou un proton plus lourd, et découvrez pourquoi l’effet tunnel est important pour les électrons dans les puces et les microscopes, mais presque jamais pour les objets du quotidien.
Objectifs pédagogiques
- Écrire les solutions de l’équation de Schrödinger indépendante du temps à l’intérieur et à l’extérieur d’une barrière rectangulaire
- Expliquer comment le raccordement de ψ et de dψ/dx à chaque bord détermine la transmission et la réflexion
- Montrer que la transmission décroît approximativement comme e^(−2κa) pour une barrière épaisse et élevée
- Expliquez pourquoi la transmission dépend si fortement de la masse de la particule
- Décrivez les résonances de transmission au-dessus d’une barrière et l’effet tunnel résonant à travers deux barrières
Comment l’utiliser
- 1Avec l’électron par défaut, relevez T. Doublez la largeur de la barrière. Par quel facteur environ T diminue-t-elle ? Comparez avec l’estimation e^(−2κa).
- 2Activez l’échelle logarithmique et observez comment log T évolue lorsque vous élargissez la barrière. Pourquoi la courbe est-elle presque une droite ?
- 3Remplacez l’électron par un muon, puis par un proton, en gardant E, V₀ et a constants. Expliquez le changement à l’aide de κ.
- 4Augmentez E au-dessus de V₀. Trouvez les énergies pour lesquelles T = 1 exactement. Montrez qu’à ces énergies, la largeur de la barrière contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde.
- 5Choisissez deux barrières et faites varier lentement E sur le graphique du bas. Repérez les pics étroits où T atteint 1, alors qu’une seule barrière ne laisse passer que quelques pour cent.
- 6À une résonance, observez |ψ|² entre les barrières. Que fait la particule à cet endroit ?
Le modèle
Hypothèses
- Une dimension, un potentiel indépendant du temps constitué de paliers constants, et un faisceau stationnaire de particules arrivant de la gauche.
- La particule possède une énergie définie, la fonction d’onde est donc un état stationnaire. Une particule réelle est un paquet d’ondes qui s’étend sur une plage d’énergies.
- La courbe animée représente la partie réelle de ψ e^(−iEt/ħ). En réalité, la phase tourne beaucoup plus vite ; elle est ralentie afin que le mouvement des crêtes soit visible.
- ψ et dψ/dx sont continues à chaque bord. Les coefficients sont déterminés exactement à l’aide de matrices de transfert 2 × 2, sans intégration numérique.
- Les barrières très épaisses pour les particules lourdes donnent des transmissions inférieures à 10^−300. Dans ce cas, seule l’estimation e^(−2κa) est affichée.
À essayer en classe
- Q1Un électron de 1 eV rencontre une barrière de 3 eV. Trouvez κ et la distance sur laquelle ψ diminue d’un facteur e.
- Q2Utilisez la formule pour une barrière épaisse afin d’estimer T pour le même électron et une barrière de 1 nm de largeur.
- Q3Pourquoi T n’est-il pas nul lorsque E est légèrement supérieur à V₀, mais vaut exactement 1 pour certaines énergies plus élevées ?
- Q4Le courant d’un microscope à effet tunnel diminue d’environ un facteur 10 lorsque la pointe s’éloigne de 0,1 nm supplémentaire. Utilisez e^(−2κd) pour estimer κ.
- Q5Expliquez pourquoi les demi-vies de la désintégration alpha vont de quelques microsecondes à des milliards d’années, alors que les énergies des particules alpha sont similaires.
Foire aux questions
La particule perd-elle de l’énergie à l’intérieur de la barrière ?
Non. L’état stationnaire a la même énergie partout. À l’intérieur de la barrière, le terme d’énergie cinétique est formellement négatif, ce qui explique pourquoi la solution est une exponentielle décroissante plutôt qu’une onde. Une particule transmise a la même énergie que la particule incidente.
Où utilise-t-on l’effet tunnel ?
Dans le microscope à effet tunnel, la mémoire flash (les électrons traversent par effet tunnel une fine couche d’oxyde pour charger la grille flottante), les diodes tunnel et les diodes tunnel résonantes, les jonctions Josephson, la désintégration alpha et la fusion nucléaire dans le Soleil, où les protons franchissent par effet tunnel la répulsion électrique qui s’exerce entre eux.
Pourquoi T atteint-il 1 à certaines énergies avec deux barrières ?
La région entre les barrières se comporte comme une boîte présentant des niveaux d’énergie quasi liés. Lorsque E correspond à l’un de ces niveaux, les ondes réfléchies qui font des allers-retours interfèrent de telle sorte que toutes les ondes réfléchies s’annulent, comme dans un interféromètre de Fabry-Pérot pour la lumière. C’est le tunneling résonant.