この実験について
丘を越えるだけのエネルギーを持たないボールは、坂を転がっても必ず戻ってくる。しかし、量子粒子はそうとは限らない。波動関数が障壁の中にしみ込み、指数関数的に減衰し、障壁が十分に薄ければ、その一部が反対側へ出てくる。この実験では、1つまたは2つの矩形障壁に対するシュレーディンガー方程式を厳密に解く。エネルギー、高さ、幅を変えたり、電子をより重いミューオンや陽子に置き換えたりして、トンネル効果がチップや顕微鏡の電子にとって重要である一方、日常的な物体ではほとんど起こらない理由を確かめよう。
学習目標
- 矩形障壁の内側と外側で、時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解を書きなさい
- 各境界で ψ と dψ/dx を接続すると、透過と反射がどのように決まるか説明しなさい
- 厚く高い障壁では、透過率がおおよそ e^(−2κa) に従って低下することを示しなさい
- 透過率が粒子の質量にこれほど強く依存する理由を説明してください
- 障壁を超えるエネルギーでの透過共鳴と、2つの障壁を通る共鳴トンネル効果について説明してください
使い方
- 1初期設定の電子で、Tを読み取ってください。障壁の幅を2倍にすると、Tはおよそ何倍に低下しますか？ e^(−2κa) による見積もりと比較してください。
- 2対数目盛をオンにして、障壁を広げると log T がどう変化するか観察してください。なぜほぼ直線になるのでしょうか？
- 3E、V₀、aはそのままで、電子をミューオン、次に陽子に置き換えてください。κを使って変化を説明してください。
- 4EをV₀より大きくしてください。T = 1 となるエネルギーを正確に見つけてください。これらのエネルギーでは、障壁の幅に半波長が整数個収まることを示してください。
- 5障壁を2つ選び、下のグラフでEをゆっくり動かしてください。障壁が1つだけなら数パーセントしか透過しないにもかかわらず、Tが1に達する鋭いピークを見つけてください。
- 6共鳴時に、障壁の間にある |ψ|² を見てください。そこで粒子はどのように振る舞っていますか？
モデル
前提条件
- 一次元で、時間に依存しないポテンシャルが平坦な段差で構成され、粒子の定常ビームが左から到来する。
- 粒子のエネルギーは確定しているため、波動関数は定常状態にある。実際の粒子は、幅広いエネルギー範囲に広がる波束である。
- アニメーションの曲線は ψ e^(−iEt/ħ) の実部を表す。実際には位相ははるかに速く回転するが、波頭の動きを見られるように遅くしている。
- ψ と dψ/dx はすべての境界で連続である。係数は数値積分を使わず、2 × 2 の転送行列によって厳密に求められる。
- 非常に厚い障壁では、重い粒子の透過率は 10^−300 を下回る。その場合は近似値 e^(−2κa) のみを表示する。
授業で試してみましょう
- Q11 eV の電子が 3 eV の障壁に出会う。κ と、ψ が e 分の1に減衰する距離を求めよ。
- Q2同じ電子について、幅 1 nm の障壁に厚い障壁の公式を用いて T を見積もってください。
- Q3E が V₀ をわずかに上回っているとき、なぜ T はゼロではないのに、より高い特定のエネルギーでは正確に 1 になるのでしょうか？
- Q4走査トンネル顕微鏡では、探針をさらに 0.1 nm 遠ざけると電流が約 10 分の 1 に減少します。e^(−2κd) を用いて κ を見積もってください。
- Q5似たエネルギーのアルファ粒子で、アルファ崩壊の半減期がマイクロ秒から数十億年まで幅広くなる理由を説明してください。
よくある質問
粒子は障壁の中でエネルギーを失いますか？
いいえ。定常状態では、エネルギーはどこでも同じです。障壁の内部では、運動エネルギーの項が形式上負になるため、解は波ではなく減衰する指数関数になります。透過した粒子のエネルギーは入射粒子と同じです。
トンネル効果はどこで利用されていますか？
走査型トンネル顕微鏡、フラッシュメモリ（電子が薄い酸化膜をトンネル効果で通り抜けてフローティングゲートを充電する）、トンネルダイオードと共鳴トンネルダイオード、ジョセフソン接合、アルファ崩壊、そして太陽内部の核融合（陽子が電気的な反発力をトンネル効果で通り抜ける）である。
2つの障壁があるとき、なぜ鋭いエネルギー値で T は 1 になるのですか？
障壁の間の領域は、準束縛エネルギー準位を持つ箱のように振る舞います。E がそのうちの1つと一致すると、光のファブリ・ペロー干渉計の場合と同じように、往復する波が干渉し、反射波がすべて打ち消し合います。これが共鳴トンネル効果です。