이 실험 소개
에너지로는 넘을 수 없을 만큼 높은 언덕에서 공은 굴러 내려와 항상 되돌아온다. 양자 입자는 그렇지 않다. 파동함수가 장벽 안으로 스며들어 지수적으로 감쇠하며, 장벽이 충분히 얇으면 그 일부가 반대편으로 빠져나온다. 이 실험에서는 하나 또는 두 개의 직사각형 장벽에 대해 슈뢰딩거 방정식을 정확히 푼다. 에너지와 높이, 폭을 바꾸고 전자를 더 무거운 뮤온이나 양성자로 바꿔 보면서, 터널링이 칩과 현미경 속 전자에는 중요하지만 일상적인 물체에서는 거의 일어나지 않는 이유를 알아보자.
학습 목표
- 직사각형 장벽의 안쪽과 바깥쪽에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 해를 쓰시오
- 각 경계에서 ψ와 dψ/dx를 연속적으로 맞추면 투과와 반사가 어떻게 결정되는지 설명하시오
- 두껍고 높은 장벽에서는 투과율이 대략 e^(−2κa)에 따라 감소함을 보이시오
- 투과율이 입자의 질량에 크게 좌우되는 이유를 설명하세요
- 장벽보다 높은 에너지에서의 투과 공명과 두 장벽을 통과하는 공명 터널링을 설명하세요
사용 방법
- 1기본 전자를 선택한 상태에서 T를 읽으세요. 장벽의 폭을 두 배로 늘리면 T는 대략 몇 배 감소하나요? e^(−2κa)로 구한 추정치와 비교하세요.
- 2로그 눈금을 켜고 장벽을 넓힐 때 log T가 어떻게 변하는지 살펴보세요. 왜 거의 직선이 되나요?
- 3E, V₀, a는 그대로 두고 전자를 뮤온으로, 이어서 양성자로 바꾸세요. κ를 사용해 변화를 설명하세요.
- 4E를 V₀보다 크게 올리세요. T = 1이 되는 에너지를 정확히 찾으세요. 이 에너지에서는 장벽의 폭 안에 반파장이 정수 개 들어맞는다는 것을 보여 주세요.
- 5두 개의 장벽을 선택하고 아래 그래프에서 E를 천천히 움직이세요. 장벽 하나만 있을 때는 몇 퍼센트만 통과하는데도 T가 1에 도달하는 날카로운 피크를 찾으세요.
- 6공명 상태에서 장벽 사이의 |ψ|²을 살펴보세요. 그곳에서 입자는 어떻게 움직이나요?
모델
가정
- 1차원에서 시간에 무관한 퍼텐셜이 평평한 계단들로 이루어져 있고, 입자들의 정상 빔이 왼쪽에서 입사한다.
- 입자의 에너지는 확정되어 있으므로 파동함수는 정상 상태이다. 실제 입자는 여러 에너지 범위에 걸쳐 퍼져 있는 파동 묶음이다.
- 애니메이션 곡선은 ψ e^(−iEt/ħ)의 실수부이다. 실제로 위상은 훨씬 빠르게 회전하지만, 파면의 움직임을 볼 수 있도록 속도를 늦췄다.
- ψ와 dψ/dx는 모든 경계에서 연속이다. 계수는 수치 적분 없이 2 × 2 전달 행렬을 사용해 정확히 구한다.
- 매우 두꺼운 장벽에서는 무거운 입자의 투과율이 10^−300보다 작아진다. 이 경우 근삿값 e^(−2κa)만 표시한다.
수업에서 해 보기
- Q11 eV의 전자가 3 eV 장벽을 만난다. κ와 ψ가 e배 감소하는 거리를 구하라.
- Q2같은 전자와 폭이 1 nm인 장벽에 두꺼운 장벽 공식을 사용하여 T를 추정하세요.
- Q3E가 V₀보다 조금 높을 때 T가 0이 아닌 이유는 무엇이며, 더 높은 특정 에너지에서는 왜 정확히 1이 되나요?
- Q4주사 터널링 현미경에서 탐침을 0.1 nm 더 멀리 옮기면 전류가 약 10분의 1로 감소합니다. e^(−2κd)를 사용하여 κ를 추정하세요.
- Q5비슷한 에너지의 알파 입자에 대해 알파 붕괴의 반감기가 마이크로초에서 수십억 년까지 달라지는 이유를 설명하세요.
자주 묻는 질문
입자는 장벽 내부에서 에너지를 잃나요?
아니요. 정상 상태에서는 에너지가 어디서나 같습니다. 장벽 내부에서는 운동 에너지 항이 형식상 음수가 되므로, 해는 파동이 아니라 감쇠하는 지수 함수가 됩니다. 투과한 입자는 입사 입자와 같은 에너지를 가집니다.
터널링은 어디에 사용되나요?
주사 터널링 현미경, 플래시 메모리(전자가 얇은 산화막을 터널링하여 플로팅 게이트를 충전함), 터널 다이오드와 공명 터널 다이오드, 조셉슨 접합, 알파 붕괴, 그리고 양성자가 전기적 반발력을 터널링하는 태양 내부의 핵융합에서 나타난다.
두 개의 장벽이 있을 때 특정한 에너지에서 T가 1이 되는 이유는 무엇인가요?
장벽 사이의 영역은 준속박 에너지 준위를 가진 상자처럼 작용합니다. E가 그중 하나와 일치하면, 빛을 이용한 패브리-페로 간섭계에서처럼 파동이 앞뒤로 반사되며 간섭하여 반사파가 모두 상쇄됩니다. 이것이 공명 터널링입니다.