Quantentunneln-Simulation

Q: Verliert das Teilchen innerhalb der Barriere Energie?

Nein. Der stationäre Zustand hat überall dieselbe Energie. Innerhalb der Barriere ist der kinetische Energieanteil formal negativ. Deshalb ist die Lösung eine abklingende Exponentialfunktion und keine Welle. Ein Teilchen, das die Barriere durchdringt, hat dieselbe Energie wie das einfallende Teilchen.

Q: Wo wird Tunneln eingesetzt?

Im Rastertunnelmikroskop, im Flash-Speicher (Elektronen tunneln durch eine dünne Oxidschicht, um das Floating Gate aufzuladen), in Tunneldioden und resonanten Tunneldioden, Josephson-Kontakten, beim Alpha-Zerfall und bei der Kernfusion in der Sonne, wo Protonen durch ihre elektrische Abstoßung hindurchtunneln.

Q: Warum erreicht T bei bestimmten Energien mit zwei Barrieren den Wert 1?

Der Bereich zwischen den Barrieren verhält sich wie ein Kasten mit quasigebundenen Energieniveaus. Wenn E einem dieser Niveaus entspricht, interferieren die hin und her reflektierten Wellen so, dass sich alle reflektierten Wellen auslöschen, wie bei einem Fabry-Pérot-Interferometer für Licht. Das ist resonantes Tunneln.

Über dieses Experiment

Ein Ball, der auf einen Hügel zurollt, der für seine Energie zu hoch ist, rollt immer zurück. Ein Quantenteilchen tut das nicht: Seine Wellenfunktion dringt in die Barriere ein, klingt exponentiell ab, und wenn die Barriere dünn genug ist, kommt ein Teilchen auf der anderen Seite wieder heraus. In diesem Labor wird die Schrödinger-Gleichung exakt für eine oder zwei rechteckige Barrieren gelöst. Ändere die Energie, Höhe und Breite, tausche das Elektron gegen ein schwereres Myon oder Proton aus und sieh, warum der Tunneleffekt bei Elektronen in Chips und Mikroskopen wichtig ist, bei Alltagsgegenständen jedoch so gut wie nie auftritt.

Lernziele

Schreibe die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung innerhalb und außerhalb einer rechteckigen Barriere auf
Erkläre, wie die Stetigkeit von ψ und dψ/dx an jeder Kante Transmission und Reflexion festlegt
Zeige, dass die Transmission bei einer hohen, breiten Barriere ungefähr wie e^(−2κa) abnimmt
Erkläre, warum die Transmission so stark von der Teilchenmasse abhängt
Beschreibe Transmissionsresonanzen oberhalb einer Barriere und resonantes Tunneln durch zwei Barrieren

Anleitung

1Lies für das voreingestellte Elektron T ab. Verdopple die Barrierenbreite. Um welchen ungefähren Faktor sinkt T? Vergleiche mit der Abschätzung e^(−2κa).
2Schalte die logarithmische Skala ein und beobachte, wie sich log T verändert, wenn du die Barriere verbreiterst. Warum ist der Graph nahezu eine gerade Linie?
3Ersetze das Elektron durch ein Myon und anschließend durch ein Proton, während E, V₀ und a unverändert bleiben. Erkläre die Veränderung mithilfe von κ.
4Erhöhe E so, dass es über V₀ liegt. Finde Energien, bei denen T genau 1 ist. Zeige, dass die Barrierenbreite bei diesen Energien einer ganzen Zahl von halben Wellenlängen entspricht.
5Wähle zwei Barrieren und verändere E langsam im unteren Diagramm. Finde die scharfen Spitzen, bei denen T den Wert 1 erreicht, obwohl eine einzelne Barriere nur wenige Prozent durchlässt.
6Betrachte bei einer Resonanz |ψ|² zwischen den Barrieren. Was macht das Teilchen dort?

Das Modell

- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} + V (x) ψ = E ψ

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

ψ = A e^{ik x} + B e^{- ik x}, k = \frac{2 m ( E - V )}{ℏ} ψ = C e^{κ x} + D e^{- κ x}, κ = \frac{2 m ( V - E )}{ℏ}

Lösungen außerhalb und innerhalb einer Barriere

T = [1 + \frac{V _{0}^{2} sinh ^{2} ( κa )}{4 E ( V _{0} - E )}]^{- 1} \approx 16 \frac{E}{V _{0}} (1 - \frac{E}{V _{0}}) e^{- 2 κa}

Transmission durch eine Barriere für E < V₀ und der Grenzfall einer dicken Barriere

T + R = 1

Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten (gleiches Potenzial auf beiden Seiten)

\frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e}} = 0.0381 eV nm^{2}

Praktische Konstante für Elektronen

Annahmen

Eine Dimension, ein zeitunabhängiges Potenzial aus konstanten Stufen und ein stationärer Teilchenstrahl, der von links eintrifft.
Das Teilchen hat eine bestimmte Energie, daher ist die Wellenfunktion ein stationärer Zustand. Ein reales Teilchen ist ein Wellenpaket, das sich über einen Energiebereich erstreckt.
Die animierte Kurve zeigt den Realteil von ψ e^(−iEt/ħ). In Wirklichkeit dreht sich die Phase viel schneller; sie wird verlangsamt, damit die Bewegung der Wellenberge sichtbar ist.
ψ und dψ/dx sind an jeder Kante stetig. Die Koeffizienten werden exakt mit 2 × 2-Transfermatrizen bestimmt, ganz ohne numerische Integration.
Bei sehr dicken Barrieren und schweren Teilchen liegt die Transmission unter 10^−300. Dann wird nur die Abschätzung e^(−2κa) angezeigt.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Ein Elektron mit 1 eV trifft auf eine 3-eV-Barriere. Bestimme κ und die Strecke, über die ψ um den Faktor e abnimmt.
Q2Verwenden Sie die Formel für eine dicke Barriere, um T für dasselbe Elektron und eine 1 nm breite Barriere abzuschätzen.
Q3Warum ist T nicht null, wenn E etwas größer als V₀ ist, bei bestimmten höheren Energien aber genau 1?
Q4Der Strom eines Rastertunnelmikroskops sinkt etwa um den Faktor 10, wenn sich die Spitze um weitere 0,1 nm entfernt. Schätzen Sie κ mithilfe von e^(−2κd) ab.
Q5Erklären Sie, warum die Halbwertszeiten des Alphazerfalls bei ähnlichen Energien der Alphateilchen von Mikrosekunden bis zu Milliarden Jahren reichen.

Häufig gestellte Fragen

Verliert das Teilchen innerhalb der Barriere Energie?