Informazioni su questo esperimento
Una palla che rotola verso una collina troppo alta per la sua energia torna sempre indietro. Una particella quantistica no: la sua funzione d’onda penetra nella barriera, decade esponenzialmente e, se la barriera è abbastanza sottile, una parte ne esce dall’altro lato. Questo laboratorio risolve esattamente l’equazione di Schrödinger per una o due barriere rettangolari. Modifica l’energia, l’altezza e la larghezza, sostituisci l’elettrone con un muone o un protone più pesante e scopri perché l’effetto tunnel è importante per gli elettroni nei chip e nei microscopi, ma quasi mai per gli oggetti di tutti i giorni.
Obiettivi di apprendimento
- Scrivi le soluzioni dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo all’interno e all’esterno di una barriera rettangolare
- Spiega come il raccordo di ψ e dψ/dx a ciascun bordo determina la trasmissione e la riflessione
- Mostra che la trasmissione diminuisce approssimativamente come e^(−2κa) per una barriera alta e spessa
- Spiega perché la trasmissione dipende così fortemente dalla massa della particella
- Descrivi le risonanze di trasmissione al di sopra di una barriera e il tunneling risonante attraverso due barriere
Come si usa
- 1Con l’elettrone predefinito, leggi T. Raddoppia la larghezza della barriera. Di quale fattore circa diminuisce T? Confronta con la stima e^(−2κa).
- 2Attiva la scala logaritmica e osserva come cambia log T quando allarghi la barriera. Perché è quasi una linea retta?
- 3Sostituisci l’elettrone con un muone e poi con un protone, mantenendo invariati E, V₀ e a. Spiega il cambiamento usando κ.
- 4Aumenta E portandola al di sopra di V₀. Trova le energie per cui T = 1 esattamente. Mostra che, a queste energie, la larghezza della barriera contiene un numero intero di semilunghezze d’onda.
- 5Scegli due barriere e trascina lentamente E nel grafico in basso. Trova i picchi stretti in cui T raggiunge 1, anche se una sola barriera lascia passare solo pochi punti percentuali.
- 6In corrispondenza di una risonanza, osserva |ψ|² tra le barriere. Che cosa fa lì la particella?
Il modello
Ipotesi
- Una dimensione, un potenziale indipendente dal tempo composto da gradini costanti e un fascio stazionario di particelle che arriva da sinistra.
- La particella ha un’energia definita, quindi la funzione d’onda è uno stato stazionario. Una particella reale è un pacchetto d’onde che si estende su un intervallo di energie.
- La curva animata è la parte reale di ψ e^(−iEt/ħ). Nella realtà, la fase ruota molto più velocemente; viene rallentata per rendere visibile il movimento delle creste.
- ψ e dψ/dx sono continui a ogni bordo. I coefficienti si determinano esattamente con matrici di trasferimento 2 × 2, senza integrazione numerica.
- Barriere molto spesse per particelle pesanti danno trasmissioni inferiori a 10^−300. In tal caso viene mostrata solo la stima e^(−2κa).
Provalo in classe
- Q1Un elettrone da 1 eV incontra una barriera da 3 eV. Trova κ e la distanza lungo la quale ψ diminuisce di un fattore e.
- Q2Usa la formula per una barriera spessa per stimare T per lo stesso elettrone e una barriera larga 1 nm.
- Q3Perché T non è zero quando E è leggermente superiore a V₀, ma è esattamente 1 a determinate energie più elevate?
- Q4La corrente di un microscopio a effetto tunnel diminuisce di circa un fattore 10 quando la punta si allontana di altri 0,1 nm. Usa e^(−2κd) per stimare κ.
- Q5Spiega perché le emivite del decadimento alfa variano da microsecondi a miliardi di anni, pur avendo le particelle alfa energie simili.
Domande frequenti
La particella perde energia all’interno della barriera?
No. Lo stato stazionario ha la stessa energia ovunque. All’interno della barriera, il termine dell’energia cinetica è formalmente negativo: per questo la soluzione è un’esponenziale decrescente anziché un’onda. Una particella trasmessa ha la stessa energia della particella incidente.
Dove si usa l’effetto tunnel?
Nel microscopio a effetto tunnel, nella memoria flash (gli elettroni attraversano per effetto tunnel un sottile strato di ossido per caricare il gate flottante), nei diodi tunnel e nei diodi tunnel risonanti, nelle giunzioni Josephson, nel decadimento alfa e nella fusione nucleare nel Sole, dove i protoni attraversano per effetto tunnel la repulsione elettrica tra loro.
Perché T raggiunge 1 a determinate energie in presenza di due barriere?
La regione tra le barriere si comporta come una scatola con livelli energetici quasi legati. Quando E coincide con uno di essi, le onde riflesse avanti e indietro interferiscono in modo che tutte le onde riflesse si annullino, come in un interferometro di Fabry-Pérot per la luce. Questo è il tunnelling risonante.