盒中粒子

大学物理一维无限深方势阱中的电子，精确求解含时薛定谔方程

关于此实验

盒中粒子是能量量子化的最简单量子系统。电子被限制在两面无限高的势垒之间，因此波函数在两端必须为零，只有能容纳整数个半波长的驻波才被允许。选择一个量子数，观察定态在复平面中旋转，而其概率密度保持不变；然后将两个状态叠加，观察电子以由能量差决定的周期在两面势垒之间来回移动。

学习目标

求解无限深方势阱的定态薛定谔方程，并应用边界条件
解释能量为何是量子化的，以及为何与 n² 和 1/L² 成正比
区分波函数与概率密度，并计算在某一区域内找到粒子的概率
解释为何定态的概率密度不随时间变化，而叠加态的概率密度会随时间变化
将能级间隔与发射或吸收的光子的波长联系起来

使用方法

1在“单一态”中，将 n 从 1 逐步调到 5。数一数节点，并观察能量如何增加。
2将 n 设为 2，然后点击“运行时间”。观察 Re Ψ 和 Im Ψ。为什么 |Ψ|² 完全不变？
3拖动选中盒子左侧四分之一的区域。比较 n = 1、n = 2 和较大的 n 时的概率。随着 n 增大，会发生什么？
4将盒子的宽度减半。每个能量会变为原来的几倍？检查 2 → 1 跃迁对应的光子波长。
5切换到“叠加态”，设置 n₁ = 1、n₂ = 2，然后运行时间。跟踪 ⟨x⟩，并将其周期与显示的拍频周期进行比较。
6试试 n₁ = 1、n₂ = 3。尽管 |Ψ|² 在变化，为什么 ⟨x⟩ 仍停留在中间？

模型

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

在两侧壁面处均为零的定态

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

允许的能量：对于处在 1 nm 宽盒子中的电子，为 0.376 eV × n²

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

两个态的等权叠加；|Ψ|² 以 h/|E₂ − E₁| 为周期振荡

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

粒子处于状态 n 时，出现在 a 和 b 之间的概率

假设

墙的高度无限大，因此波函数在盒子外严格为零。有限深势阱允许波函数少量渗入墙内，并使每个能级都降低。
粒子是一个质量为 9.109 × 10⁻³¹ kg 的电子，在一维空间中运动，没有自旋，也没有相互作用。
屏幕上的时间流逝快得多：无论实际时长是多少飞秒，一次振荡或一个拍子都持续约四秒。
Re Ψ 和 Im Ψ 取决于全局相位的任意选择；只有 |Ψ|² 和状态之间的相位差具有物理意义。

在课堂上试试这个实验

Q1为什么不存在 n = 0 的状态？这说明可能的最低能量是什么情况？
Q2当 n = 2 时，盒子中央的概率密度为零。电子如何从盒子的一半到达另一半？
Q3将一个共轭染料分子建模为宽 1.2 nm 的盒子。估算它在 3 → 4 跃迁时吸收的波长。这是可见光吗？
Q4证明对于每个定态，粒子出现在盒子左半部分的概率都恰好为 1/2。
Q5当 n 非常大时，概率密度看起来几乎是均匀的。这如何将量子物理学与经典物理学联系起来？

常见问题

为什么能量是量子化的？

波函数在两侧壁处都必须为零，因此只有在盒子内恰好容纳整数个半波长的正弦波才被允许。每个允许的波长对应一个确定的动量，因此也对应一个确定的动能。

粒子在定态中真的在运动吗？

它的概率密度不会随时间变化，平均动量为零。每个定态都是向左和向右传播的波等量混合而成的。像晃动这样的可见运动，只会出现在不同能量态的叠加中。

这个模型用在哪里？

它可用于对染料和胡萝卜素等共轭分子中的电子、半导体激光器和 LED 中的量子阱，以及称为量子点的纳米晶体进行初步估算。量子点的颜色会随尺寸变化。