Simulación de Partícula en una caja

Acerca de este experimento

La partícula en una caja es el sistema cuántico más sencillo con energía cuantizada. Un electrón está atrapado entre dos paredes infinitamente altas, por lo que su función de onda debe anularse en ambos extremos y solo se permiten ondas estacionarias que contengan un número entero de semilongitudes de onda. Elige un número cuántico y observa cómo el estado estacionario gira en el plano complejo mientras su densidad de probabilidad permanece constante; después, combina dos estados y observa cómo el electrón oscila de una pared a otra con un período determinado por la diferencia de energía entre ambos.

Objetivos de aprendizaje

Resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un pozo cuadrado infinito y aplica las condiciones de contorno
Explica por qué la energía está cuantizada y es proporcional a n² y a 1/L²
Distingue entre la función de onda y la densidad de probabilidad, y calcula la probabilidad de encontrar la partícula en una región
Explica por qué la densidad de probabilidad de un estado estacionario no depende del tiempo, mientras que la de una superposición sí
Relaciona los niveles de energía con la longitud de onda de los fotones emitidos o absorbidos

Cómo usarlo

1En Estado único, avanza n de 1 a 5. Cuenta los nodos y observa cómo aumenta la energía.
2Pulsa Ejecutar tiempo con n = 2. Observa Re Ψ e Im Ψ. ¿Por qué |Ψ|² no cambia en absoluto?
3Arrastra una región sobre el cuarto izquierdo de la caja. Compara la probabilidad para n = 1, 2 y un valor grande de n. ¿Qué ocurre al aumentar n?
4Reduce a la mitad la anchura de la caja. ¿Por qué factor cambia cada energía? Comprueba la longitud de onda del fotón para 2 → 1.
5Cambia a Superposición con n₁ = 1 y n₂ = 2 y ejecuta el tiempo. Sigue ⟨x⟩ y compara su período con el período de batido indicado.
6Prueba con n₁ = 1 y n₂ = 3. ¿Por qué ⟨x⟩ permanece en el centro aunque |Ψ|² cambie?

El modelo

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

Estados estacionarios que se anulan en ambas paredes

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

Energías permitidas: 0,376 eV × n² para un electrón en una caja de 1 nm

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

Superposición igual de dos estados; |Ψ|² oscila con un período de h/|E₂ − E₁|

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

Probabilidad de encontrar la partícula entre a y b en el estado n

Supuestos

Las paredes tienen una altura infinita, por lo que la función de onda es exactamente cero fuera de la caja. En un pozo finito, la función de onda penetra un poco en las paredes y todos los niveles de energía disminuyen.
La partícula es un electrón de masa 9.109 × 10⁻³¹ kg que se mueve en una dimensión, sin espín ni interacciones.
El tiempo transcurre mucho más rápido en pantalla: una oscilación o un pulso dura unos cuatro segundos, independientemente de cuánto dure en realidad, en femtosegundos.
Re Ψ e Im Ψ dependen de la elección arbitraria de la fase global; solo |Ψ|² y las diferencias de fase entre estados son observables físicos.

Pruébalo en clase

Q1¿Por qué no puede existir un estado con n = 0? ¿Qué nos dice eso sobre la energía mínima posible?
Q2Para n = 2, la densidad de probabilidad es cero en el centro de la caja. ¿Cómo puede pasar el electrón de una mitad a la otra?
Q3Se modela una molécula de colorante conjugado como una caja de 1.2 nm. Estima la longitud de onda que absorbe en la transición 3 → 4. ¿Es visible?
Q4Demuestra que la probabilidad de encontrar la partícula en la mitad izquierda es exactamente 1/2 para cualquier estado estacionario.
Q5Para valores muy grandes de n, la densidad de probabilidad parece casi uniforme. ¿Cómo conecta esto la física cuántica con la clásica?

Preguntas frecuentes

¿Por qué está cuantizada la energía?

La función de onda debe ser cero en ambas paredes, así que solo se permiten ondas sinusoidales con un número entero de semilongitudes de onda a lo largo de la caja. Cada longitud de onda permitida corresponde a un momento definido y, por tanto, a una energía cinética definida.

¿Se mueve realmente la partícula en un estado estacionario?

Su densidad de probabilidad no cambia con el tiempo y su momento medio es cero. Cada estado estacionario es una mezcla a partes iguales de ondas que se desplazan hacia la izquierda y hacia la derecha. El movimiento observable, como el vaivén, solo aparece en superposiciones de energías diferentes.

¿Dónde se utiliza este modelo?

Como primera aproximación para los electrones de moléculas conjugadas, como los colorantes y el caroteno; en pozos cuánticos de láseres semiconductores y LED; y en nanocristales llamados puntos cuánticos, cuyo color cambia según su tamaño.