Teilchen im Kasten-Simulation

Über dieses Experiment

Das Teilchen im Kasten ist das einfachste Quantensystem mit quantisierten Energien. Ein Elektron ist zwischen zwei unendlich hohen Wänden eingeschlossen, sodass seine Wellenfunktion an beiden Enden verschwinden muss und nur stehende Wellen erlaubt sind, die einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen entsprechen. Wähle eine Quantenzahl und beobachte, wie sich der stationäre Zustand in der komplexen Ebene dreht, während seine Wahrscheinlichkeitsdichte konstant bleibt. Überlagere anschließend zwei Zustände und beobachte, wie das Elektron mit einer durch ihre Energiedifferenz bestimmten Periode von Wand zu Wand schwingt.

Lernziele

Löse die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für einen unendlich tiefen Potentialkasten und wende die Randbedingungen an
Erkläre, warum die Energie quantisiert ist und mit n² sowie 1/L² skaliert
Unterscheide zwischen der Wellenfunktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte und berechne die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem bestimmten Bereich zu finden
Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeitsdichte eines stationären Zustands zeitunabhängig ist, die einer Superposition jedoch nicht
Beziehe die Energieniveaus auf die Wellenlänge der emittierten oder absorbierten Photonen

Anleitung

1Gehe im Einzelzustand n schrittweise von 1 bis 5 durch. Zähle die Knoten und achte darauf, wie die Energie zunimmt.
2Drücke bei n = 2 auf „Zeit abspielen“. Beobachte Re Ψ und Im Ψ. Warum ändert sich |Ψ|² überhaupt nicht?
3Ziehe einen Bereich über das linke Viertel des Kastens. Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für n = 1, 2 und ein großes n. Was passiert, wenn n zunimmt?
4Halbiere die Breite des Kastens. Um welchen Faktor ändert sich jede Energie? Überprüfe die Photonenwellenlänge für 2 → 1.
5Wechsle zur Superposition mit n₁ = 1 und n₂ = 2 und spiele die Zeit ab. Verfolge ⟨x⟩ und vergleiche seine Periode mit der angezeigten Schwebungsperiode.
6Probiere n₁ = 1 und n₂ = 3 aus. Warum bleibt ⟨x⟩ in der Mitte, obwohl sich |Ψ|² ändert?

Das Modell

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

Stationäre Zustände, die an beiden Wänden verschwinden

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

Erlaubte Energien: 0,376 eV × n² für ein Elektron in einem 1-nm-Kasten

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

Gleichgewichtete Superposition zweier Zustände; |Ψ|² schwingt mit der Periode h/|E₂ − E₁|

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Zustand n zwischen a und b zu finden

Annahmen

Die Wände sind unendlich hoch, daher ist die Wellenfunktion außerhalb des Kastens exakt null. Bei einem endlichen Potentialtopf dringt die Wellenfunktion ein wenig in die Wände ein, wodurch alle Energieniveaus niedriger liegen.
Das Teilchen ist ein Elektron mit einer Masse von 9.109 × 10⁻³¹ kg, das sich eindimensional bewegt, ohne Spin und ohne Wechselwirkungen.
Die Zeit läuft auf dem Bildschirm viel schneller ab: Eine Schwingung oder ein Schlag dauert etwa vier Sekunden, unabhängig davon, wie lange sie in Wirklichkeit in Femtosekunden dauern.
Re Ψ und Im Ψ hängen von der willkürlichen Wahl der globalen Phase ab; nur |Ψ|² und Phasendifferenzen zwischen Zuständen sind physikalisch messbar.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum kann es keinen Zustand mit n = 0 geben? Was sagt das über die niedrigstmögliche Energie aus?
Q2Für n = 2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Mitte des Kastens null. Wie kann das Elektron von einer Hälfte in die andere gelangen?
Q3Ein konjugiertes Farbstoffmolekül wird als Kasten mit einer Länge von 1.2 nm modelliert. Schätze die Wellenlänge, die es beim Übergang 3 → 4 absorbiert. Liegt sie im sichtbaren Bereich?
Q4Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in der linken Hälfte zu finden, für jeden stationären Zustand genau 1/2 beträgt.
Q5Bei sehr großen n sieht die Wahrscheinlichkeitsdichte fast gleichmäßig aus. Wie verbindet das Quanten- und klassische Physik?

Häufig gestellte Fragen

Warum ist die Energie quantisiert?

Die Wellenfunktion muss an beiden Wänden null sein. Daher sind nur Sinuswellen erlaubt, bei denen eine ganze Zahl von halben Wellenlängen in die Box passt. Jede erlaubte Wellenlänge entspricht einem bestimmten Impuls und somit einer bestimmten kinetischen Energie.

Bewegt sich das Teilchen in einem stationären Zustand tatsächlich?

Seine Wahrscheinlichkeitsdichte ändert sich nicht mit der Zeit, und sein mittlerer Impuls ist null. Jeder stationäre Zustand ist eine gleichgewichtete Mischung aus Wellen, die sich nach links und rechts bewegen. Sichtbare Bewegung, etwa ein Hin- und Herschwappen, tritt nur bei Überlagerungen verschiedener Energien auf.

Wo wird dieses Modell verwendet?

Als erste Näherung für Elektronen in konjugierten Molekülen wie Farbstoffen und Carotin, in Quantentöpfen von Halbleiterlasern und LEDs sowie in Nanokristallen, die Quantenpunkte genannt werden und deren Farbe sich mit ihrer Größe ändert.