この実験について
箱の中の粒子は、エネルギーが量子化される最も単純な量子系です。電子は無限に高い2つの壁の間に閉じ込められているため、波動関数は両端でゼロにならなければならず、半波長が整数個ちょうど収まる定常波だけが許されます。量子数を選び、確率密度は一定のまま定常状態が複素平面上で回転する様子を観察しましょう。次に2つの状態を重ね合わせ、エネルギー差によって決まる周期で電子が壁から壁へと行き来する様子を見てみましょう。
学習目標
- 無限深井戸に対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解き、境界条件を適用する
- エネルギーが量子化され、n²および1/L²に比例する理由を説明する
- 波動関数と確率密度の違いを明らかにし、ある領域で粒子が見つかる確率を計算する
- 定常状態では確率密度が時間に依存しない一方、重ね合わせ状態では時間に依存する理由を説明する
- エネルギー準位の間隔を、放出または吸収される光子の波長と関連づけましょう
使い方
- 1「単一状態」で n を 1 から 5 まで順に変えてください。節の数を数え、エネルギーがどのように増加するかを確認しましょう。
- 2n = 2 にして「時間を進める」を押してください。Re Ψ と Im Ψ を観察しましょう。なぜ |Ψ|² はまったく変化しないのでしょうか？
- 3箱の左端から4分の1の範囲をドラッグして選択してください。n = 1、2、および大きな n の場合の確率を比べましょう。n が大きくなるとどうなりますか？
- 4箱の幅を半分にしてください。すべてのエネルギーは何倍になりますか？2 → 1 の遷移に対応する光子の波長も確認しましょう。
- 5n₁ = 1、n₂ = 2 にして「重ね合わせ」に切り替え、時間を進めてください。⟨x⟩ を追い、その周期を表示されるうなり周期と比べましょう。
- 6n₁ = 1、n₂ = 3 を試してください。|Ψ|² が変化するのに、なぜ ⟨x⟩ は中央にとどまるのでしょうか？
モデル
前提条件
- 壁の高さは無限大なので、箱の外では波動関数は厳密にゼロです。有限の深さの井戸では、波動関数が壁の中にわずかにしみ出し、すべてのエネルギー準位が低くなります。
- 粒子は質量 9.109 × 10⁻³¹ kg の電子で、スピンも相互作用もなく、一次元を運動します。
- 画面上では時間がはるかに速く進みます。実際の長さがフェムト秒単位でどれほどであっても、1回の振動または1拍は約4秒です。
- Re Ψ と Im Ψ は、任意に選べる全体位相に依存します。物理的な意味を持つのは |Ψ|² と状態間の位相差だけです。
授業で試してみましょう
- Q1なぜ n = 0 の状態は存在できないのでしょうか。これは可能な最低エネルギーについて何を示していますか？
- Q2n = 2 では、箱の中央で確率密度がゼロになります。電子はどうやって箱の片側からもう片側へ移動できるのでしょうか？
- Q3共役系色素分子を幅 1.2 nm の箱としてモデル化します。3 → 4 遷移で吸収される波長を見積もってください。それは可視光でしょうか？
- Q4定常状態では、粒子が箱の左半分に見つかる確率が常に正確に 1/2 であることを示してください。
- Q5nが非常に大きくなると、確率密度はほぼ一様に見えます。これは量子物理学と古典物理学をどのように結びつけるのでしょうか？
よくある質問
なぜエネルギーは量子化されるのですか？
波動関数は両方の壁でゼロでなければならないため、箱の中に半波長が整数個収まる正弦波だけが許されます。許される波長ごとに運動量が定まり、それによって運動エネルギーも定まります。
粒子は定常状態で本当に動いているのですか？
その確率密度は時間がたっても変化せず、平均運動量はゼロです。それぞれの定常状態は、左向きと右向きに進む波が等しく混ざった状態です。揺れ動きのように目に見える運動は、異なるエネルギーの状態が重ね合わさったときにのみ現れます。
このモデルはどこで使われていますか？
色素やカロテンなどの共役分子内の電子、半導体レーザーやLEDの量子井戸、そして量子ドットと呼ばれるナノ結晶について、最初の概算に使われます。量子ドットは大きさによって色が変わります。