Simulazione di Particella in una scatola

Informazioni su questo esperimento

La particella in una scatola è il sistema quantistico più semplice con energia quantizzata. Un elettrone è intrappolato tra due pareti di altezza infinita, quindi la sua funzione d’onda deve annullarsi a entrambe le estremità e sono ammesse solo onde stazionarie che contengono un numero intero di semilunghezze d’onda. Scegli un numero quantico e osserva lo stato stazionario ruotare nel piano complesso mentre la sua densità di probabilità rimane costante; poi combina due stati e osserva l’elettrone oscillare da una parete all’altra con un periodo determinato dalla loro differenza di energia.

Obiettivi di apprendimento

Risolvi l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per una buca quadrata infinita e applica le condizioni al contorno
Spiega perché l’energia è quantizzata e varia come n² e 1/L²
Distingui la funzione d’onda dalla densità di probabilità e calcola la probabilità di trovare la particella in una regione
Spiega perché la densità di probabilità di uno stato stazionario non dipende dal tempo, mentre quella di una sovrapposizione sì
Metti in relazione i livelli energetici con la lunghezza d’onda dei fotoni emessi o assorbiti

Come si usa

1In modalità Stato singolo, fai avanzare n da 1 a 5. Conta i nodi e osserva come aumenta l’energia.
2Premi Avvia tempo con n = 2. Osserva Re Ψ e Im Ψ. Perché |Ψ|² non cambia affatto?
3Trascina una regione sul quarto sinistro della scatola. Confronta la probabilità per n = 1, 2 e un valore grande di n. Cosa succede quando n aumenta?
4Dimezza la larghezza della scatola. Di quale fattore cambia ogni energia? Controlla la lunghezza d’onda del fotone per 2 → 1.
5Passa a Sovrapposizione con n₁ = 1 e n₂ = 2 e avvia il tempo. Segui ⟨x⟩ e confronta il suo periodo con il periodo di battimento indicato.
6Prova con n₁ = 1 e n₂ = 3. Perché ⟨x⟩ resta al centro anche se |Ψ|² cambia?

Il modello

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

Stati stazionari che si annullano su entrambe le pareti

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

Energie consentite: 0,376 eV × n² per un elettrone in una scatola di 1 nm

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

Sovrapposizione equiprobabile di due stati; |Ψ|² oscilla con periodo h/|E₂ − E₁|

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

Probabilità di trovare la particella tra a e b nello stato n

Ipotesi

Le pareti sono infinitamente alte, quindi la funzione d’onda è esattamente zero fuori dalla scatola. In una buca finita, la funzione d’onda penetra leggermente nelle pareti e tutti i livelli si abbassano.
La particella è un elettrone con massa 9.109 × 10⁻³¹ kg che si muove in una dimensione, senza spin né interazioni.
Il tempo scorre molto più velocemente sullo schermo: un’oscillazione o un battito dura circa quattro secondi, qualunque sia la sua durata reale in femtosecondi.
Re Ψ e Im Ψ dipendono dalla scelta arbitraria della fase globale; solo |Ψ|² e le differenze di fase tra gli stati sono grandezze fisiche.

Provalo in classe

Q1Perché non può esistere uno stato con n = 0? Cosa ci dice questo sull’energia minima possibile?
Q2Per n = 2 la densità di probabilità è zero al centro della scatola. Come può l’elettrone passare da una metà all’altra?
Q3Una molecola di colorante coniugata viene modellata come una scatola di 1.2 nm. Stima la lunghezza d’onda che assorbe nella transizione 3 → 4. È visibile?
Q4Dimostra che la probabilità di trovare la particella nella metà sinistra è esattamente 1/2 per ogni stato stazionario.
Q5Per valori molto grandi di n, la densità di probabilità appare quasi uniforme. In che modo questo collega la fisica quantistica a quella classica?

Domande frequenti

Perché l’energia è quantizzata?

La funzione d’onda deve essere zero su entrambe le pareti, quindi sono ammesse solo onde sinusoidali con un numero intero di semilunghezze d’onda lungo la scatola. Ogni lunghezza d’onda ammessa corrisponde a una quantità di moto definita e quindi a un’energia cinetica definita.

La particella si muove davvero in uno stato stazionario?

La sua densità di probabilità non cambia nel tempo e la sua quantità di moto media è zero. Ogni stato stazionario è una combinazione in parti uguali di onde che si muovono verso sinistra e verso destra. Un movimento osservabile, come un’oscillazione avanti e indietro, compare solo nelle sovrapposizioni di energie diverse.

Dove si usa questo modello?

Come prima approssimazione per gli elettroni nelle molecole coniugate, come i coloranti e il carotene, nei pozzi quantistici dei laser a semiconduttore e dei LED, e nei nanocristalli chiamati punti quantici, il cui colore cambia in base alle dimensioni.