Simulation de Particule dans une boîte

À propos de cette expérience

La particule dans une boîte est le système quantique le plus simple dont l’énergie est quantifiée. Un électron est piégé entre deux parois de hauteur infinie, de sorte que sa fonction d’onde doit s’annuler aux deux extrémités et que seules les ondes stationnaires correspondant à un nombre entier de demi-longueurs d’onde sont permises. Choisissez un nombre quantique et observez l’état stationnaire tourner dans le plan complexe tandis que sa densité de probabilité reste constante. Superposez ensuite deux états et observez l’électron osciller d’une paroi à l’autre selon une période déterminée par leur différence d’énergie.

Objectifs pédagogiques

Résolvez l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour un puits carré infini et appliquez les conditions aux limites
Expliquez pourquoi l’énergie est quantifiée et varie comme n² et 1/L²
Distinguez la fonction d’onde de la densité de probabilité et calculez la probabilité de trouver la particule dans une région donnée
Expliquez pourquoi la densité de probabilité d’un état stationnaire est indépendante du temps, contrairement à celle d’une superposition
Reliez les niveaux d’énergie à la longueur d’onde des photons émis ou absorbés

Comment l’utiliser

1En mode État unique, faites varier n de 1 à 5. Comptez les nœuds et observez comment l’énergie augmente.
2Lancez l’évolution temporelle avec n = 2. Observez Re Ψ et Im Ψ. Pourquoi |Ψ|² ne change-t-il pas du tout ?
3Faites glisser une région sur le quart gauche de la boîte. Comparez la probabilité pour n = 1, 2 et une grande valeur de n. Que se passe-t-il quand n augmente ?
4Divisez par deux la largeur de la boîte. Par quel facteur chaque énergie change-t-elle ? Vérifiez la longueur d’onde du photon pour 2 → 1.
5Passez en mode Superposition avec n₁ = 1 et n₂ = 2, puis lancez l’évolution temporelle. Suivez ⟨x⟩ et comparez sa période à la période de battement affichée.
6Essayez avec n₁ = 1 et n₂ = 3. Pourquoi ⟨x⟩ reste-t-il au milieu alors que |Ψ|² change ?

Le modèle

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

États stationnaires qui s’annulent aux deux parois

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

Énergies autorisées : 0,376 eV × n² pour un électron dans une boîte de 1 nm

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

Superposition équipondérée de deux états ; |Ψ|² oscille avec une période de h/|E₂ − E₁|

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

Probabilité de trouver la particule entre a et b dans l’état n

Hypothèses

Les parois sont infiniment hautes, donc la fonction d’onde est exactement nulle à l’extérieur de la boîte. Un puits fini permet à la fonction d’onde de pénétrer légèrement dans les parois et abaisse tous les niveaux.
La particule est un électron de masse 9.109 × 10⁻³¹ kg qui se déplace à une dimension, sans spin ni interactions.
Le temps s’écoule beaucoup plus vite à l’écran : une oscillation ou un battement dure environ quatre secondes, quelle que soit sa durée réelle en femtosecondes.
Re Ψ et Im Ψ dépendent du choix arbitraire de la phase globale ; seules |Ψ|² et les différences de phase entre les états sont des grandeurs physiques.

À essayer en classe

Q1Pourquoi ne peut-il pas exister d’état avec n = 0 ? Qu’est-ce que cela nous indique sur l’énergie minimale possible ?
Q2Pour n = 2, la densité de probabilité est nulle au milieu de la boîte. Comment l’électron peut-il passer d’une moitié à l’autre ?
Q3Une molécule de colorant conjuguée est modélisée par une boîte de 1.2 nm. Estime la longueur d’onde qu’elle absorbe lors de la transition 3 → 4. Est-elle visible ?
Q4Montre que la probabilité de trouver la particule dans la moitié gauche est exactement égale à 1/2 pour tout état stationnaire.
Q5Pour de très grandes valeurs de n, la densité de probabilité semble presque uniforme. Quel est le lien entre cela et le rapprochement de la physique quantique et de la physique classique ?

Foire aux questions

Pourquoi l’énergie est-elle quantifiée ?

La fonction d’onde doit être nulle aux deux parois. Seules sont donc permises les ondes sinusoïdales dont un nombre entier de demi-longueurs d’onde tient dans la boîte. Chaque longueur d’onde permise correspond à une quantité de mouvement définie et donc à une énergie cinétique définie.

La particule se déplace-t-elle réellement dans un état stationnaire ?

Sa densité de probabilité ne varie pas dans le temps et sa quantité de mouvement moyenne est nulle. Chaque état stationnaire est un mélange à parts égales d’ondes se déplaçant vers la gauche et vers la droite. Un mouvement observable, comme un va-et-vient, n’apparaît que dans les superpositions d’états d’énergies différentes.

Où ce modèle est-il utilisé ?

Comme première approximation pour les électrons dans des molécules conjuguées telles que les colorants et le carotène, dans les puits quantiques des lasers à semi-conducteurs et des LED, ainsi que dans les nanocristaux appelés boîtes quantiques, dont la couleur varie selon leur taille.