이 실험 소개
상자 속 입자는 에너지가 양자화되는 가장 단순한 양자계입니다. 전자는 무한히 높은 두 벽 사이에 갇혀 있으므로 파동함수는 양 끝에서 0이 되어야 하며, 반파장의 정수배가 정확히 들어맞는 정상파만 허용됩니다. 양자수를 선택하고 확률 밀도는 그대로인 채 정상 상태가 복소평면에서 회전하는 모습을 살펴보세요. 그런 다음 두 상태를 중첩해 에너지 차이로 정해지는 주기에 따라 전자가 한쪽 벽에서 다른 쪽 벽으로 오가는 모습을 관찰하세요.
학습 목표
- 무한 사각 우물에 대한 시간 독립 슈뢰딩거 방정식을 풀고 경계 조건을 적용하기
- 에너지가 양자화되고 n² 및 1/L²에 비례하는 이유 설명하기
- 파동함수와 확률 밀도를 구분하고, 특정 영역에서 입자를 발견할 확률 계산하기
- 정상 상태의 확률 밀도는 시간에 따라 변하지 않지만 중첩 상태에서는 변하는 이유 설명하기
- 에너지 준위 간격을 방출되거나 흡수되는 광자의 파장과 연관 지어 보세요
사용 방법
- 1‘단일 상태’에서 n을 1부터 5까지 단계적으로 바꿔 보세요. 마디의 수를 세고 에너지가 어떻게 증가하는지 살펴보세요.
- 2n = 2로 설정하고 ‘시간 실행’을 누르세요. Re Ψ와 Im Ψ를 관찰하세요. |Ψ|²는 왜 전혀 변하지 않을까요?
- 3상자의 왼쪽 4분의 1 영역을 드래그해 선택하세요. n = 1, 2일 때와 n이 큰 경우의 확률을 비교해 보세요. n이 커지면 어떻게 되나요?
- 4상자의 너비를 절반으로 줄이세요. 모든 에너지는 몇 배로 변하나요? 2 → 1 전이에 해당하는 광자의 파장도 확인하세요.
- 5n₁ = 1, n₂ = 2로 설정하고 ‘중첩’으로 전환한 뒤 시간을 실행하세요. ⟨x⟩를 살펴보고 그 주기를 표시된 맥놀이 주기와 비교하세요.
- 6n₁ = 1, n₂ = 3을 시도해 보세요. |Ψ|²는 변하는데 ⟨x⟩는 왜 가운데에 머무를까요?
모델
가정
- 벽의 높이는 무한대이므로 상자 밖에서 파동함수는 정확히 0입니다. 유한 퍼텐셜 우물에서는 파동함수가 벽 안으로 조금 새어 들어가며 모든 에너지 준위가 낮아집니다.
- 입자는 질량이 9.109 × 10⁻³¹ kg인 전자이며, 스핀도 상호작용도 없이 1차원으로 움직입니다.
- 화면에서는 시간이 훨씬 빠르게 흐릅니다. 실제 길이가 펨토초 단위로 얼마이든, 한 번의 진동 또는 한 박자는 약 4초입니다.
- Re Ψ와 Im Ψ는 임의로 선택하는 전역 위상에 따라 달라집니다. 물리적인 의미를 갖는 것은 |Ψ|²와 상태 간 위상 차이뿐입니다.
수업에서 해 보기
- Q1왜 n = 0인 상태는 존재할 수 없을까요? 이는 가능한 최저 에너지에 대해 무엇을 말해 주나요?
- Q2n = 2일 때 상자 한가운데에서 확률 밀도는 0입니다. 전자는 어떻게 상자의 한쪽에서 다른 쪽으로 갈 수 있을까요?
- Q3공액 염료 분자를 폭 1.2 nm인 상자로 모델링합니다. 3 → 4 전이에서 흡수되는 파장을 추정해 보세요. 가시광선에 해당하나요?
- Q4모든 정상 상태에서 입자가 상자의 왼쪽 절반에서 발견될 확률이 정확히 1/2임을 보이세요.
- Q5n이 매우 커지면 확률 밀도는 거의 균일해 보입니다. 이는 양자 물리학과 고전 물리학을 어떻게 연결할까요?
자주 묻는 질문
에너지는 왜 양자화되어 있나요?
파동함수는 양쪽 벽에서 0이어야 하므로, 상자 안에 반파장이 정수 개 들어가는 사인파만 허용됩니다. 허용되는 각 파장은 특정한 운동량을 가지며, 따라서 운동 에너지도 정해집니다.
입자는 정상 상태에서 실제로 움직이고 있나요?
확률 밀도는 시간에 따라 변하지 않고 평균 운동량은 0입니다. 각 정상 상태는 왼쪽과 오른쪽으로 진행하는 파동이 같은 비율로 섞인 상태입니다. 출렁이는 움직임처럼 눈에 보이는 운동은 에너지가 서로 다른 상태들이 중첩될 때만 나타납니다.
이 모델은 어디에 사용되나요?
염료와 카로틴 같은 공액 분자의 전자, 반도체 레이저와 LED의 양자 우물, 그리고 크기에 따라 색이 변하는 양자점이라는 나노결정을 처음 어림하는 데 사용됩니다.