盒中粒子

大學物理一維無限深方形位能井中的電子，精確求解含時薛丁格方程式

關於此實驗

盒中粒子是能量量子化的最簡單量子系統。電子被限制在兩面無限高的勢壘之間，因此波函數在兩端必須為零，只有能容納整數個半波長的駐波才被允許。選擇一個量子數，觀察定態在複平面中旋轉，而其機率密度保持不變；接著將兩個狀態疊加，觀察電子以由能量差決定的週期在兩面勢壘之間來回移動。

學習目標

求解無限深方形位阱的定態薛丁格方程式，並套用邊界條件
說明能量為何是量子化的，以及為何與 n² 和 1/L² 成正比
區分波函數與機率密度，並計算在某個區域內找到粒子的機率
說明為何定態的機率密度不隨時間變化，而疊加態的機率密度會隨時間變化
將能階間隔與發射或吸收的光子的波長連結起來

使用方法

1在「單一態」中，將 n 從 1 逐步調到 5。數一數節點，並觀察能量如何增加。
2將 n 設為 2，然後按下「執行時間」。觀察 Re Ψ 和 Im Ψ。為什麼 |Ψ|² 完全不變？
3拖曳選取盒子左側四分之一的區域。比較 n = 1、n = 2 和較大的 n 時的機率。隨著 n 增大，會發生什麼？
4將盒子的寬度減半。每個能量會變為原來的幾倍？檢查 2 → 1 躍遷對應的光子波長。
5切換到「疊加態」，設定 n₁ = 1、n₂ = 2，然後執行時間。追蹤 ⟨x⟩，並將其週期與顯示的拍頻週期比較。
6試試 n₁ = 1、n₂ = 3。儘管 |Ψ|² 在變化，為什麼 ⟨x⟩ 仍停留在中間？

模型

ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}, n = 1, 2, 3, \dots

在兩側牆面處皆為零的定態

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

允許的能量：對於處在 1 nm 寬盒子中的電子，為 0.376 eV × n²

Ψ (x, t) = \frac{1}{2} (ψ_{n_{1}} e^{- i E_{n_{1}} t /ℏ} + ψ_{n_{2}} e^{- i E_{n_{2}} t /ℏ})

兩個態的等權疊加；|Ψ|² 以 h/|E₂ − E₁| 為週期振盪

P (a < x < b) = \frac{b - a}{L} - \frac{sin ( 2 nπ b / L ) - sin ( 2 nπ a / L )}{2 nπ}

粒子處於狀態 n 時，出現在 a 和 b 之間的機率

假設

牆的高度無限大，因此波函數在盒子外嚴格為零。有限深度的位阱允許波函數少量滲入牆內，並使每個能階都降低。
粒子是一個質量為 9.109 × 10⁻³¹ kg 的電子，在一維空間中運動，沒有自旋，也沒有交互作用。
螢幕上的時間流逝快得多：無論實際時長是多少飛秒，一次振盪或一個拍子都持續約四秒。
Re Ψ 和 Im Ψ 取決於全域相位的任意選擇；只有 |Ψ|² 和狀態之間的相位差具有物理意義。

在課堂上試試這個實驗

Q1為什麼不存在 n = 0 的狀態？這說明可能的最低能量是怎樣的？
Q2當 n = 2 時，盒子中央的機率密度為零。電子如何從盒子的一半到達另一半？
Q3將一個共軛染料分子建模為寬 1.2 nm 的盒子。估算它在 3 → 4 躍遷時吸收的波長。這是可見光嗎？
Q4證明對於每個定態，粒子出現在盒子左半部的機率都恰好為 1/2。
Q5當 n 非常大時，機率密度看起來幾乎是均勻的。這如何將量子物理學與古典物理學連結起來？

常見問題

為什麼能量會量子化？

波函數在兩側牆面都必須為零，因此只有在盒子內恰好容納整數個半波長的正弦波才被允許。每個允許的波長都對應一個確定的動量，因此也對應一個確定的動能。

粒子在定態中真的在運動嗎？

它的機率密度不會隨時間改變，平均動量為零。每個定態都是向左和向右傳播的波等量混合而成的。像晃動這樣看得見的運動，只會出現在不同能量態的疊加中。

這個模型用在哪裡？

它可用於對染料和胡蘿蔔素等共軛分子中的電子、半導體雷射和 LED 中的量子井，以及稱為量子點的奈米晶體進行初步估算。量子點的顏色會隨尺寸改變。