大学适用的物理模拟：双摆与混沌

关于此实验

双摆是一个摆悬挂在另一个摆末端的装置。它的运动方程完全是确定性的，但在大幅摆动时会呈现混沌：两个初始状态仅相差百万分之一弧度的摆，很快就会以完全不同的方式运动。让两个副本并排运行，观察它们之间的距离如何在对数尺度上呈指数增长，根据斜率估算最大李雅普诺夫指数，并与小幅摆动的情况进行比较；此时运动保持规律且可预测。

学习目标

根据拉格朗日量推导或识别双摆的运动方程
解释对初始条件的敏感依赖，以及它为何会限制预测
根据两条相近轨迹之间间距的增长，估算最大李雅普诺夫指数
区分小振幅下的规则运动与大振幅下的混沌运动
利用能量守恒判断数值积分器的准确性

使用方法

1使用默认的大幅摆动设置，按下播放。你最早什么时候能看到两个摆锤开始分开？从图表上读取时间。
2重置并选择“小幅摆动”。播放完整的 40 秒。间距图有什么不同？
3返回“大幅摆动”。将 k 从 6 改为 9，再改为 3。间距达到 1 rad 的时间推迟或提前了多少？将其与李雅普诺夫指数估算值联系起来。
4先让下方的摆锤变重（3 kg），再变轻（0.2 kg）。运动变得更混沌还是更不混沌？
5检查最大的能量误差。即使两次运行的结果不一致，为什么这仍是检验数值解是否可信的有效方法？
6试试“几乎倒立”。运用不稳定平衡的概念，解释会发生什么。

模型

L = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} θ ˙_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2} cos (θ_{1} - θ_{2}) + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} cos θ_{1} + m_{2} g l_{2} cos θ_{2}

两个角度均从竖直向下方向测量的拉格朗日量

δ (t) \approx δ_{0} e^{λ t}

相近的轨迹会呈指数级分离；λ 是最大李雅普诺夫指数

t_{pred} \approx \frac{1}{λ} ln \frac{Δ}{δ _{0}}

预测时限：初始数据精度提高一千倍，预测时间也只会增加 (ln 1000)/λ 秒

假设

质量被视为质点，杆是刚体且无质量，并且不存在摩擦或空气阻力，因此总能量守恒。
方程采用经典四阶龙格-库塔方法进行积分，步长固定为 1 ms。相同的输入始终会产生相同的运动。
在角度空间中测量两次运行的 (θ₁, θ₂) 之间的距离，并将角度折回到 ±π 范围内。当两次运行彼此无关后，距离会达到饱和。
李雅普诺夫估计值是对从 0.5 秒到 δ 达到 0.1 rad 时这段时间内 ln δ 进行最小二乘拟合得到的。它是一个粗略的有限时间值，并非形式化定义中使用的极限值。

在课堂上试试这个实验

Q1如果运动完全由方程决定，那么它在什么意义上是不可预测的？
Q2为什么分离量在约 1 到 3 rad 时就不再增大？
Q3能量误差约为 10⁻⁸，但两次运行的结果却完全不同。是积分器有问题吗？请解释。
Q4在小角度下，双摆有两个正规模态。找出一组初始角度，使其中一个模态占主导地被激发。
Q5天气预报大约两周后就会失去准确性。这与此模拟有什么关系？

常见问题

真实的双摆也会表现出混沌吗？

会。由杆而非质点构成的真实双摆也会表现出相同的行为，不过摩擦会缓慢耗散能量，直到运动再次变得规则。科学博物馆里的演示装置通常就是这样构造的。

为什么不使用更小的步长，让预测持续得更久？

数值误差会以与初始条件差异相同的指数速率增长。减小步长或使用更好的积分器，只能稍微延长时间，就像更精确地测量起始角度一样。

什么是李雅普诺夫指数？

它衡量相邻轨迹分离的速度。正值意味着混沌：间距每隔 1/λ 秒就会扩大到原来的 e 倍。规则运动的指数为零。