이 실험 소개
이중 진자는 다른 진자 끝에 매달린 진자입니다. 운동 방정식은 완전히 결정론적이지만, 크게 흔들릴 때는 카오스적입니다. 라디안의 백만분의 1만큼 차이 나는 상태에서 시작한 두 진자는 곧 완전히 다른 방식으로 움직입니다. 두 진자를 나란히 실행해 로그 스케일에서 두 진자 사이의 거리가 지수적으로 커지는 모습을 살펴보고, 기울기에서 최대 리아푸노프 지수를 추정해 보세요. 움직임이 규칙적이고 예측 가능한 작은 흔들림의 경우와도 비교해 보세요.
학습 목표
- 라그랑지안으로부터 이중 진자의 운동 방정식을 유도하거나 알아본다
- 초기 조건에 대한 민감한 의존성과 이것이 예측을 제한하는 이유를 설명한다
- 서로 가까운 두 궤적 사이의 간격이 증가하는 양상으로부터 최대 리아푸노프 지수를 추정한다
- 작은 진폭에서의 규칙적인 운동과 큰 진폭에서의 혼돈 운동을 구별한다
- 에너지 보존을 이용해 수치 적분기의 정확도를 판단한다
사용 방법
- 1기본 설정인 큰 진폭으로 재생을 누르세요. 두 진자가 처음으로 서로 멀어지는 것을 언제 볼 수 있나요? 그래프에서 시간을 읽으세요.
- 2초기화한 뒤 ‘작은 진폭’을 선택하세요. 40초 전체를 재생하세요. 간격 그래프는 어떻게 달라지나요?
- 3‘큰 진폭’으로 돌아가세요. k를 6에서 9로, 이어서 3으로 바꾸세요. 간격이 1 rad에 도달하는 시점은 얼마나 늦어지거나 빨라지나요? 이를 리아푸노프 추정값과 연관 지어 보세요.
- 4아래쪽 추를 무겁게(3 kg) 한 다음 가볍게(0.2 kg) 하세요. 운동이 더 혼돈스러워지나요, 아니면 덜 혼돈스러워지나요?
- 5최대 에너지 오차를 확인하세요. 두 번의 실행 결과가 서로 다르더라도 수치해를 신뢰할 수 있는지 판단하는 데 왜 유용한 검사일까요?
- 6‘거의 거꾸로’를 시도해 보세요. 불안정 평형이라는 개념을 이용해 어떤 일이 일어나는지 설명하세요.
모델
가정
- 질량은 점으로 취급하고, 막대는 강체이며 질량이 없고, 마찰이나 공기 저항도 없으므로 전체 에너지는 보존됩니다.
- 방정식은 고전적인 4차 룽게-쿠타 방법과 고정된 1 ms 시간 간격으로 적분합니다. 입력이 같으면 운동도 항상 동일합니다.
- 두 실행의 (θ₁, θ₂) 사이 거리를 각도를 ±π 범위로 감싼 각도 공간에서 측정합니다. 두 실행의 결과가 서로 무관해지면 이 거리는 포화됩니다.
- 리아푸노프 추정값은 0.5초부터 δ가 0.1 rad에 도달하는 순간까지 ln δ를 최소제곱법으로 근사한 값입니다. 이는 대략적인 유한 시간 값이며, 형식적 정의에서 사용하는 극한값은 아닙니다.
수업에서 해 보기
- Q1운동이 방정식에 의해 완전히 결정된다면, 어떤 의미에서 예측할 수 없는 것인가요?
- Q2왜 분리는 약 1~3 rad에서 더 이상 커지지 않나요?
- Q3에너지 오차는 약 10⁻⁸인데 두 번의 계산 결과가 완전히 다릅니다. 적분기에 문제가 있는 건가요? 설명해 주세요.
- Q4작은 각도에서 이중 진자는 두 가지 정상 모드를 가집니다. 그중 하나만 주로 들뜨게 하는 초기 각도를 찾아보세요.
- Q5일기 예보는 약 2주가 지나면 정확도가 떨어집니다. 이것은 이 시뮬레이션과 어떤 관련이 있나요?
자주 묻는 질문
실제 이중 진자도 카오스적인가요?
네. 점질량이 아니라 막대로 만든 실제 이중 진자도 같은 거동을 보입니다. 다만 마찰로 에너지가 서서히 빠져나가면서 운동은 다시 규칙적으로 변합니다. 과학 박물관의 시연 장치는 보통 이런 방식으로 만들어집니다.
예측이 더 오래 지속되도록 시간 간격을 더 작게 설정하면 안 되나요?
수치 오차는 초기 조건의 차이와 같은 지수율로 증가합니다. 시간 간격을 줄이거나 더 나은 적분기를 사용해도, 시작 각도를 더 정밀하게 측정하는 것과 마찬가지로 시간을 조금 더 벌 수 있을 뿐입니다.
리아푸노프 지수란 무엇인가요?
서로 가까운 궤적이 얼마나 빠르게 벌어지는지를 측정합니다. 값이 양수이면 혼돈을 뜻하며, 간격은 1/λ초마다 e배가 됩니다. 규칙적인 운동의 지수는 0입니다.