この実験について
二重振り子とは、別の振り子の先端にぶら下がった振り子です。その運動方程式は完全に決定論的ですが、大きく振れる場合はカオス的な動きをします。ラジアンの100万分の1だけ離れた状態から始めた2つの振り子は、すぐにまったく異なる動きをするようになります。2つの振り子を並べて動かし、対数スケールで間隔が指数関数的に広がる様子を観察し、その傾きから最大リアプノフ指数を推定してみましょう。また、動きが規則的で予測しやすい小さな振れの場合と比べてみましょう。
学習目標
- ラグランジアンから二重振り子の運動方程式を導出する、または見分ける
- 初期条件への鋭敏な依存性と、それが予測を制限する理由を説明する
- 近接する2つの軌道間の距離の増加から、最大リアプノフ指数を推定する
- 小振幅での規則的な運動と、大振幅でのカオス的な運動を区別する
- エネルギー保存を使って数値積分器の精度を判断する
使い方
- 1デフォルトの大きな振れ幅で再生を押してください。2つの振り子が初めて離れて見えるのはいつですか？グラフから時間を読み取ってください。
- 2リセットして「小さな振れ幅」を選びます。40秒間すべて再生してください。隔たりのグラフはどのように異なりますか？
- 3「大きな振れ幅」に戻します。kを6から9に変更し、次に3に変更してください。隔たりが1 radに達するのは、どれくらい遅く、または早くなりますか？これをリアプノフ指数の推定値と関連付けてください。
- 4下側のおもりを重く（3 kg）、次に軽く（0.2 kg）します。運動はよりカオス的になりますか、それともカオス性が弱まりますか？
- 5最大のエネルギー誤差を確認してください。2回の実行結果が異なっていても、数値解を信頼できるかどうかを確かめるのに、なぜこれは有用なテストなのでしょうか？
- 6「ほぼ逆さま」を試してください。不安定平衡という考え方を使って、何が起きるか説明してください。
モデル
前提条件
- 質点は点として扱い、棒は剛体で質量を持たず、摩擦や空気抵抗もないため、全エネルギーは保存されます。
- 方程式は古典的な4次のルンゲ＝クッタ法を用いて、固定の1 ms刻みで積分されます。同じ入力なら、常に同じ運動が得られます。
- 2回の実行の (θ₁, θ₂) 間の距離を、角度を ±π の範囲に折り返した角度空間で測定します。2つの実行結果に相関がなくなると、この距離は飽和します。
- リアプノフ推定値は、0.5秒からδが0.1 radに達する時点までの ln δ を最小二乗法で近似した値です。これは概算的な有限時間の値であり、形式的な定義で用いられる極限値ではありません。
授業で試してみましょう
- Q1運動が方程式によって完全に決まるのなら、どのような意味で予測不能なのでしょうか？
- Q2なぜ分離は約1～3 radで増加しなくなるのですか？
- Q3エネルギー誤差は約10⁻⁸なのに、2つの計算結果はまったく一致しません。積分器に問題があるのでしょうか？説明してください。
- Q4小さな角度では、二重振り子には2つの固有モードがあります。そのうち一方だけを主に励起する初期角度を見つけてください。
- Q5天気予報の精度は約2週間後から低下します。これはこのシミュレーションとどう関係していますか？
よくある質問
実物の二重振り子もカオス的ですか？
はい。点質量ではなく棒で作られた実物の二重振り子も同じ振る舞いを示します。ただし、摩擦によってエネルギーが徐々に失われ、やがて運動は再び規則的になります。科学博物館での実演装置は、通常このような作りです。
予測がより長く持続するように、刻み幅を小さくしないのはなぜですか？
数値誤差は、初期条件の差と同じ指数率で増大します。刻み幅を小さくしたり、より優れた積分法を使ったりしても、開始角度をより正確に測るのと同じように、増やせる時間はわずかです。
リアプノフ指数とは何ですか？
近接した軌道がどれほど速く離れていくかを表します。値が正ならカオスを意味し、間隔は 1/λ 秒ごとに e 倍になります。規則的な運動の指数はゼロです。