Über dieses Experiment
Ein Doppelpendel ist ein Pendel, das am Ende eines anderen Pendels hängt. Seine Bewegungsgleichungen sind vollständig deterministisch, doch bei großen Auslenkungen ist die Bewegung chaotisch: Zwei Pendel, deren Startwinkel sich um ein Millionstel Radiant unterscheiden, bewegen sich schon bald völlig unterschiedlich. Führe zwei Kopien nebeneinander aus, beobachte, wie ihr Abstand auf einer logarithmischen Skala exponentiell wächst, schätze anhand der Steigung den größten Lyapunow-Exponenten und vergleiche das mit kleinen Auslenkungen, bei denen die Bewegung regelmäßig und vorhersehbar bleibt.
Lernziele
- Leiten Sie die Bewegungsgleichungen des Doppelpendels aus der Lagrange-Funktion her oder erkennen Sie sie wieder.
- Erklären Sie die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen und warum sie die Vorhersagbarkeit einschränkt.
- Schätzen Sie den größten Lyapunov-Exponenten anhand des Anwachsens des Abstands zweier nahe beieinanderliegender Trajektorien.
- Unterscheiden Sie regelmäßige Bewegung bei kleinen Auslenkungen von chaotischer Bewegung bei großen Auslenkungen.
- Nutzen Sie die Energieerhaltung, um die Genauigkeit eines numerischen Integrators zu beurteilen.
Anleitung
- 1Drücken Sie auf „Play“, während die standardmäßig eingestellte große Auslenkung ausgewählt ist. Wann können Sie erstmals sehen, dass sich die beiden Pendel voneinander entfernen? Lesen Sie die Zeit aus dem Diagramm ab.
- 2Setzen Sie zurück und wählen Sie „Small swing“ (kleine Auslenkung). Lassen Sie die Simulation die vollen 40 s laufen. Wie unterscheidet sich der Abstandsgraph?
- 3Kehren Sie zu „Large swing“ (große Auslenkung) zurück. Ändern Sie k von 6 auf 9 und anschließend auf 3. Um wie viel später oder früher erreicht der Abstand 1 rad? Setzen Sie dies mit der Lyapunov-Schätzung in Beziehung.
- 4Machen Sie die untere Masse schwer (3 kg) und anschließend leicht (0,2 kg). Wird die Bewegung chaotischer oder weniger chaotisch?
- 5Prüfe den größten Energiefehler. Warum ist das ein nützlicher Test dafür, dass man der numerischen Lösung vertrauen kann, selbst wenn zwei Durchläufe voneinander abweichen?
- 6Versuche es mit „Almost“ fast auf dem Kopf stehend. Erkläre mithilfe des Konzepts eines instabilen Gleichgewichts, was passiert.
Das Modell
Annahmen
- Die Massen sind punktförmig, die Stäbe starr und masselos, und es gibt weder Reibung noch Luftwiderstand, sodass die Gesamtenergie erhalten bleibt.
- Die Gleichungen werden mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung und einem festen Zeitschritt von 1 ms integriert. Dieselben Eingaben führen immer zu derselben Bewegung.
- Der Abstand wird im Winkelraum als Distanz zwischen (θ₁, θ₂) der beiden Durchläufe gemessen, wobei die Winkel auf ±π begrenzt werden. Er erreicht einen Sättigungswert, sobald die Durchläufe nicht mehr zusammenhängen.
- Die Lyapunov-Schätzung ist eine Ausgleichsrechnung der kleinsten Quadrate für ln δ zwischen 0,5 s und dem Zeitpunkt, an dem δ 0,1 rad erreicht. Sie ist ein grober Wert für eine endliche Zeitspanne und nicht der Grenzwert aus der formalen Definition.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1Wenn die Bewegung vollständig durch die Gleichungen bestimmt ist, inwiefern ist sie dann unvorhersehbar?
- Q2Warum nimmt der Abstand bei etwa 1 bis 3 rad nicht weiter zu?
- Q3Der Energiefehler beträgt etwa 10⁻⁸, aber die beiden Simulationen stimmen überhaupt nicht überein. Ist der Integrator fehlerhaft? Erklären Sie.
- Q4Bei kleinen Winkeln hat das Doppelpendel zwei Normalschwingungen. Finden Sie Anfangswinkel, die überwiegend eine davon anregen.
- Q5Wettervorhersagen werden nach etwa zwei Wochen ungenau. Wie hängt das mit dieser Simulation zusammen?
Häufig gestellte Fragen
Ist ein echtes Doppelpendel ebenfalls chaotisch?
Ja. Echte Doppelpendel mit Stäben statt Punktmassen zeigen dasselbe Verhalten, obwohl die Reibung ihnen langsam Energie entzieht, bis die Bewegung wieder regelmäßig wird. Vorführmodelle in Wissenschaftsmuseen sind üblicherweise so gebaut.
Warum verwendet man nicht einen kleineren Zeitschritt, damit die Vorhersage länger gültig bleibt?
Numerische Fehler wachsen mit derselben exponentiellen Rate wie Unterschiede in den Anfangsbedingungen. Ein kleinerer Schritt oder ein besserer Integrator verschafft nur wenig zusätzliche Zeit, genauso wie eine präzisere Messung der Anfangswinkel.
Was ist ein Lyapunov-Exponent?
Er gibt an, wie schnell benachbarte Trajektorien auseinanderdriften. Ein positiver Wert bedeutet Chaos: Der Abstand vervielfacht sich alle 1/λ Sekunden um den Faktor e. Bei regelmäßiger Bewegung ist der Exponent null.