Informazioni su questo esperimento
Un pendolo doppio è un pendolo appeso all'estremità di un altro. Le sue equazioni del moto sono completamente deterministiche, ma per oscillazioni ampie il moto è caotico: due pendoli che iniziano con una differenza di un milionesimo di radiante si muovono presto in modi completamente diversi. Avvia due copie affiancate, osserva la loro separazione crescere esponenzialmente su una scala logaritmica, stima il massimo esponente di Lyapunov dalla pendenza e confrontalo con le oscillazioni piccole, in cui il moto rimane regolare e prevedibile.
Obiettivi di apprendimento
- Ricavi o riconosci le equazioni del moto del doppio pendolo a partire dalla lagrangiana.
- Spiega la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali e perché limita la capacità di previsione.
- Stima il massimo esponente di Lyapunov dalla crescita della separazione tra due traiettorie vicine.
- Distingui il moto regolare a piccole ampiezze dal moto caotico a grandi ampiezze.
- Usa la conservazione dell’energia per valutare la precisione di un integratore numerico.
Come si usa
- 1Premi «Play» con la grande oscillazione predefinita. Quando riesci a vedere per la prima volta i due pendoli separarsi? Leggi il tempo dal grafico.
- 2Reimposta e scegli «Small swing» (piccola oscillazione). Avvia la simulazione per tutti i 40 s. In che modo il grafico della separazione è diverso?
- 3Torna a «Large swing» (grande oscillazione). Cambia k da 6 a 9 e poi a 3. Quanto più tardi o prima la separazione raggiunge 1 rad? Metti questo risultato in relazione con la stima di Lyapunov.
- 4Rendi pesante la massa inferiore (3 kg) e poi leggera (0,2 kg). Il moto diventa più o meno caotico?
- 5Controlla il massimo errore di energia. Perché è un test utile per capire se ci si può fidare della soluzione numerica, anche quando due esecuzioni non coincidono?
- 6Prova a mettere «Almost» quasi sottosopra. Spiega cosa succede usando il concetto di equilibrio instabile.
Il modello
Ipotesi
- Le masse sono puntiformi, le aste sono rigide e prive di massa, e non ci sono attrito né resistenza dell’aria, quindi l’energia totale si conserva.
- Le equazioni vengono integrate con il metodo classico di Runge-Kutta del quarto ordine e un passo fisso di 1 ms. Gli stessi input producono sempre lo stesso movimento.
- La separazione si misura nello spazio degli angoli come distanza tra (θ₁, θ₂) delle due esecuzioni, con gli angoli ricondotti entro ±π. Raggiunge un valore limite quando le esecuzioni non sono più correlate.
- La stima di Lyapunov è un adattamento ai minimi quadrati di ln δ tra 0,5 s e il momento in cui δ raggiunge 0,1 rad. È un valore approssimativo riferito a un tempo finito, non il limite usato nella definizione formale.
Provalo in classe
- Q1Se il moto è completamente determinato dalle equazioni, in che senso è imprevedibile?
- Q2Perché la separazione smette di crescere quando raggiunge circa 1-3 rad?
- Q3L’errore sull’energia è di circa 10⁻⁸, ma le due simulazioni sono completamente discordanti. L’integratore è sbagliato? Spiega.
- Q4Per piccoli angoli, il doppio pendolo ha due modi normali. Trova angoli iniziali che ne eccitino principalmente uno.
- Q5Le previsioni meteorologiche perdono precisione dopo circa due settimane. Che relazione c’è con questa simulazione?
Domande frequenti
Anche un doppio pendolo reale è caotico?
Sì. I doppi pendoli reali costituiti da aste anziché da masse puntiformi mostrano lo stesso comportamento, anche se l’attrito sottrae lentamente energia finché il moto non torna regolare. I dispositivi dimostrativi dei musei scientifici sono solitamente costruiti in questo modo.
Perché non usare un passo più piccolo per far durare più a lungo la previsione?
Gli errori numerici crescono allo stesso ritmo esponenziale delle differenze nelle condizioni iniziali. Un passo più piccolo o un integratore migliore aggiunge solo un po’ di tempo, proprio come misurare gli angoli iniziali con maggiore precisione.
Che cos’è un esponente di Lyapunov?
Misura la rapidità con cui divergono traiettorie vicine. Un valore positivo indica il caos: la separazione si moltiplica per e ogni 1/λ secondi. Il moto regolare ha un esponente pari a zero.