大學適用的物理模擬：雙擺與混沌

關於此實驗

雙擺是一個擺懸掛在另一個擺末端的裝置。它的運動方程完全是確定性的，但在大幅擺動時會呈現混沌：兩個初始狀態僅相差百萬分之一弧度的擺，很快就會以完全不同的方式運動。讓兩個副本並排運行，觀察它們之間的距離如何在對數尺度上呈指數增長，根據斜率估算最大李雅普諾夫指數，並與小幅擺動的情況比較；此時運動保持規律且可預測。

學習目標

根據拉格朗日量推導或辨認雙擺的運動方程式
說明對初始條件的敏感依賴，以及它為何會限制預測
根據兩條相近軌跡之間間距的增長，估算最大李雅普諾夫指數
區分小振幅下的規則運動與大振幅下的混沌運動
利用能量守恆判斷數值積分器的準確度

使用方法

1使用預設的大幅擺動設定，按下播放。你最早什麼時候能看到兩個擺錘開始分開？從圖表上讀取時間。
2重設並選擇「小幅擺動」。播放完整的 40 秒。間距圖有什麼不同？
3返回「大幅擺動」。將 k 從 6 改為 9，再改為 3。間距達到 1 rad 的時間延後或提前了多少？將其與李雅普諾夫指數估算值連結起來。
4先讓下方的擺錘變重（3 kg），再變輕（0.2 kg）。運動變得更混沌還是較不混沌？
5檢查最大的能量誤差。即使兩次執行的結果不一致，為什麼這仍是檢驗數值解是否可信的有效方法？
6試試「幾乎倒立」。運用不穩定平衡的概念，解釋會發生什麼事。

模型

L = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} θ ˙_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} θ ˙_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} θ ˙_{1} θ ˙_{2} cos (θ_{1} - θ_{2}) + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} cos θ_{1} + m_{2} g l_{2} cos θ_{2}

兩個角度皆從鉛直向下方向測量的拉格朗日量

δ (t) \approx δ_{0} e^{λ t}

相近的軌跡會呈指數級分離；λ 是最大李雅普諾夫指數

t_{pred} \approx \frac{1}{λ} ln \frac{Δ}{δ _{0}}

預測時限：初始資料精度提高一千倍，預測時間也只會增加 (ln 1000)/λ 秒

假設

質量視為質點，桿件是剛體且無質量，並且沒有摩擦或空氣阻力，因此總能量守恆。
方程式採用經典四階龍格-庫塔法積分，步長固定為 1 ms。相同的輸入總是會產生相同的運動。
在角度空間中測量兩次執行的 (θ₁, θ₂) 之間的距離，並將角度折回 ±π 範圍內。當兩次執行彼此無關後，距離便會達到飽和。
李雅普諾夫估計值是對從 0.5 秒到 δ 達到 0.1 rad 時這段時間內的 ln δ 進行最小平方法擬合所得。這是一個粗略的有限時間值，並非形式化定義中使用的極限值。

在課堂上試試這個實驗

Q1如果運動完全由方程式決定，那麼它在哪種意義上是不可預測的？
Q2為什麼分離量在約 1 到 3 rad 時就不再增加？
Q3能量誤差約為 10⁻⁸，但兩次運算的結果卻完全不同。是積分器有問題嗎？請解釋。
Q4在小角度下，雙擺有兩個正規模態。找出一組初始角度，讓其中一個模態主要受到激發。
Q5天氣預報大約兩週後就會失去準確性。這和這項模擬有什麼關聯？

常見問題

真實的雙擺也會呈現混沌嗎？

會。由桿而非質點構成的真實雙擺也會呈現相同的行為，不過摩擦會逐漸耗散能量，直到運動再次變得規則。科學博物館的展示裝置通常就是這樣製作的。

為什麼不使用更小的步長，讓預測持續更久？

數值誤差會以與初始條件差異相同的指數速率增長。減小步長或使用更好的積分器，只能稍微延長時間，就像更精確地測量起始角度一樣。

什麼是李雅普諾夫指數？

它衡量相鄰軌跡分離的速度。正值代表混沌：間距每隔 1/λ 秒就會擴大到原來的 e 倍。規則運動的指數為零。