À propos de cette expérience
Un pendule double est un pendule suspendu à l’extrémité d’un autre pendule. Ses équations du mouvement sont entièrement déterministes, mais, pour de grandes oscillations, le mouvement est chaotique : deux pendules dont les positions initiales diffèrent d’un millionième de radian se mettent rapidement à évoluer de façons totalement différentes. Lancez deux exemplaires côte à côte, observez leur séparation croître de manière exponentielle sur une échelle logarithmique, estimez le plus grand exposant de Lyapunov à partir de la pente et comparez avec les petites oscillations, où le mouvement reste régulier et prévisible.
Objectifs pédagogiques
- Dérivez ou reconnaissez les équations du mouvement du double pendule à partir du lagrangien.
- Expliquez la dépendance sensible aux conditions initiales et pourquoi elle limite les prédictions.
- Estimez le plus grand exposant de Lyapunov à partir de la croissance de la séparation entre deux trajectoires proches.
- Distinguez le mouvement régulier à faible amplitude du mouvement chaotique à grande amplitude.
- Utilisez la conservation de l’énergie pour évaluer la précision d’un intégrateur numérique.
Comment l’utiliser
- 1Appuyez sur « Play » avec la grande oscillation sélectionnée par défaut. À quel moment pouvez-vous voir pour la première fois les deux pendules s’écarter ? Lisez le temps sur le graphique.
- 2Réinitialisez et choisissez « Small swing » (petite oscillation). Lancez la simulation pendant les 40 s complètes. En quoi le graphique de séparation est-il différent ?
- 3Revenez à « Large swing » (grande oscillation). Faites passer k de 6 à 9, puis à 3. De combien plus tard ou plus tôt la séparation atteint-elle 1 rad ? Faites le lien avec l’estimation de Lyapunov.
- 4Rendez la masse inférieure lourde (3 kg), puis légère (0,2 kg). Le mouvement devient-il plus ou moins chaotique ?
- 5Vérifiez la plus grande erreur d’énergie. Pourquoi est-ce un test utile pour savoir si l’on peut faire confiance à la solution numérique, même lorsque deux exécutions divergent ?
- 6Essayez de placer « Almost » presque à l’envers. Expliquez ce qui se passe à l’aide de la notion d’équilibre instable.
Le modèle
Hypothèses
- Les masses sont ponctuelles, les tiges rigides et sans masse, et il n’y a ni frottement ni résistance de l’air ; l’énergie totale est donc conservée.
- Les équations sont intégrées avec la méthode classique de Runge-Kutta d’ordre quatre et un pas fixe de 1 ms. Les mêmes entrées donnent toujours le même mouvement.
- L’écart est mesuré dans l’espace angulaire comme la distance entre (θ₁, θ₂) des deux exécutions, les angles étant ramenés dans l’intervalle ±π. Il atteint un plateau dès que les exécutions ne sont plus liées.
- L’estimation de Lyapunov est un ajustement par moindres carrés de ln δ entre 0,5 s et le moment où δ atteint 0,1 rad. C’est une valeur approximative sur une durée finie, et non la limite utilisée dans la définition formelle.
À essayer en classe
- Q1Si le mouvement est entièrement déterminé par les équations, en quel sens est-il imprévisible ?
- Q2Pourquoi la séparation cesse-t-elle de croître aux alentours de 1 à 3 rad ?
- Q3L’erreur sur l’énergie est d’environ 10⁻⁸, mais les deux simulations sont complètement différentes. L’intégrateur est-il défectueux ? Expliquez.
- Q4Pour de petits angles, le double pendule possède deux modes propres. Trouvez des angles initiaux qui en excitent principalement un.
- Q5Les prévisions météorologiques perdent en précision au bout d’environ deux semaines. Quel est le rapport avec cette simulation ?
Foire aux questions
Un vrai double pendule est-il également chaotique ?
Oui. Les vrais doubles pendules constitués de tiges plutôt que de masses ponctuelles présentent le même comportement, bien que le frottement leur fasse lentement perdre de l’énergie jusqu’à ce que le mouvement redevienne régulier. Les dispositifs de démonstration des musées scientifiques sont généralement construits de cette façon.
Pourquoi ne pas utiliser un pas plus petit pour prolonger la durée de validité de la prédiction ?
Les erreurs numériques croissent au même rythme exponentiel que les différences dans les conditions initiales. Un pas plus petit ou un meilleur intégrateur ne fait gagner qu’un peu de temps, tout comme une mesure plus précise des angles de départ.
Qu’est-ce qu’un exposant de Lyapunov ?
Il mesure la vitesse à laquelle des trajectoires proches divergent. Une valeur positive signifie qu’il y a du chaos : la séparation est multipliée par e toutes les 1/λ secondes. Un mouvement régulier a un exposant nul.