Acerca de este experimento
Un péndulo doble es un péndulo que cuelga del extremo de otro. Sus ecuaciones de movimiento son completamente deterministas; sin embargo, para oscilaciones grandes, el movimiento es caótico: dos péndulos que comienzan con una diferencia de una millonésima de radián pronto se mueven de maneras completamente distintas. Ejecuta dos copias una al lado de la otra, observa cómo aumenta exponencialmente su separación en una escala logarítmica, estima el mayor exponente de Lyapunov a partir de la pendiente y compáralo con las oscilaciones pequeñas, donde el movimiento sigue siendo regular y predecible.
Objetivos de aprendizaje
- Derive o reconozca las ecuaciones de movimiento del péndulo doble a partir del lagrangiano.
- Explique la dependencia sensible de las condiciones iniciales y por qué limita la capacidad de predicción.
- Estime el mayor exponente de Lyapunov a partir del crecimiento de la separación entre dos trayectorias cercanas.
- Distinga el movimiento regular con amplitudes pequeñas del movimiento caótico con amplitudes grandes.
- Use la conservación de la energía para evaluar la precisión de un integrador numérico.
Cómo usarlo
- 1Pulse «Play» con la oscilación amplia predeterminada. ¿Cuándo puede ver por primera vez que los dos péndulos se separan? Lea el tiempo en la gráfica.
- 2Reinicie y elija «Small swing» (oscilación pequeña). Reproduzca los 40 s completos. ¿En qué se diferencia la gráfica de separación?
- 3Vuelva a «Large swing» (oscilación amplia). Cambie k de 6 a 9 y luego a 3. ¿Cuánto más tarde o más temprano alcanza la separación 1 rad? Relacione esto con la estimación de Lyapunov.
- 4Haga que la masa inferior sea pesada (3 kg) y luego ligera (0,2 kg). ¿El movimiento se vuelve más o menos caótico?
- 5Comprueba el mayor error de energía. ¿Por qué es una prueba útil para saber que se puede confiar en la solución numérica, incluso cuando dos ejecuciones no coinciden?
- 6Prueba a poner «Almost» casi boca abajo. Explica qué ocurre utilizando la idea de un equilibrio inestable.
El modelo
Supuestos
- Las masas son puntuales, las varillas son rígidas y sin masa, y no hay fricción ni resistencia del aire, por lo que la energía total se conserva.
- Las ecuaciones se integran con el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden y un paso fijo de 1 ms. Las mismas entradas siempre producen el mismo movimiento.
- La separación se mide en el espacio angular como la distancia entre (θ₁, θ₂) de las dos ejecuciones, con los ángulos restringidos a ±π. Se satura cuando las ejecuciones dejan de estar relacionadas.
- La estimación de Lyapunov es un ajuste por mínimos cuadrados de ln δ entre 0,5 s y el momento en que δ alcanza 0,1 rad. Es un valor aproximado para un tiempo finito, no el límite utilizado en la definición formal.
Pruébalo en clase
- Q1Si el movimiento está completamente determinado por las ecuaciones, ¿en qué sentido es impredecible?
- Q2¿Por qué deja de crecer la separación cuando alcanza aproximadamente entre 1 y 3 rad?
- Q3El error de energía es de aproximadamente 10⁻⁸, pero las dos simulaciones discrepan por completo. ¿Está mal el integrador? Explícalo.
- Q4Para ángulos pequeños, el péndulo doble tiene dos modos normales. Encuentra ángulos iniciales que exciten principalmente uno de ellos.
- Q5Las previsiones meteorológicas pierden precisión después de unas dos semanas. ¿Qué relación tiene eso con esta simulación?
Preguntas frecuentes
¿También es caótico un péndulo doble real?
Sí. Los péndulos dobles reales hechos con barras en lugar de masas puntuales muestran el mismo comportamiento, aunque la fricción les va quitando energía poco a poco hasta que el movimiento vuelve a ser regular. Las demostraciones de los museos de ciencia suelen estar construidas de esta manera.
¿Por qué no usar un paso más pequeño para que la predicción dure más?
Los errores numéricos crecen al mismo ritmo exponencial que las diferencias en las condiciones iniciales. Un paso más pequeño o un integrador mejor solo añade un poco de tiempo, igual que medir los ángulos iniciales con más precisión.
¿Qué es un exponente de Lyapunov?
Mide la rapidez con la que divergen las trayectorias cercanas. Un valor positivo significa caos: la separación se multiplica por e cada 1/λ segundos. El movimiento regular tiene un exponente de cero.