电场和磁场中的带电粒子

高中物理洛伦兹力 F = q(E + v × B)，使用守能的 Boris 方法积分；无重力、无辐射

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关于此实验

电场会沿着电场线推动电荷，因此，在带电极板之间射出的粒子会像横向抛出的球一样，沿抛物线弯曲运动。磁场的作用则更奇特：它施加的力与运动方向垂直，因此粒子的速率既不会变快也不会变慢，而是沿圆周运动。将电子、质子和α粒子射入电场和磁场，测量圆的半径，并使两种力平衡，从而构建一个速度选择器。

学习目标

描述带电粒子在匀强电场中的抛物线路径
解释为什么磁场会改变运动电荷的方向，却不会改变其速率
使用 r = mv / qB 和 T = 2πm / qB 描述磁场中的圆周运动
解释交叉的电场和磁场如何筛选出速度为 v = E / B 的粒子
比较电荷量和质量不同的粒子的运动轨迹

使用方法

1选择“仅电场”，发射一个电子。它会向哪边偏转？切换为质子。为什么它会向相反方向偏转？
2选择“仅磁场”。用 10 cm 刻度尺测量圆的直径，并与显示的半径进行比较。
3将磁场强度加倍。半径会怎样变化？周期会怎样变化？
4将加速电压提高到原来的四倍。半径会改变多少？用 r = mv / qB 解释。
5在相同的电压和磁场下发射一个质子和一个阿尔法粒子。哪个圆更大？
6选择“速度选择器”，使粒子沿直线运动。现在只改变电压。它还能沿直线运动吗？

模型

F = q (E + v \times B)

电荷 q 所受的洛伦兹力

q V = \frac{1}{2} m v^{2}

粒子经过加速电压 V 后获得的速度

r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}, T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}

磁场中圆周运动的半径和周期

y = \frac{q E}{2 m} (\frac{x}{v})^{2}

均匀电场中的抛物线偏转

q E = q v B \Rightarrow v = \frac{E}{B}

交叉的电场和磁场只允许具有这一速度的粒子通过

假设

在长40 cm、宽30 cm的区域内，电场和磁场均匀分布；区域外场强为零。重力弱到不足以产生影响，因此忽略不计。
粒子的速度远低于光速（在5000 V电压下，电子的速度约为光速的14 %），因此采用经典力学。
使用鲍里斯算法对粒子轨迹进行积分；在纯磁场中，该算法能使速度严格保持不变。运动电荷还会辐射，但这里忽略这一点。
每个粒子先由所选电压从静止状态加速，然后从左边缘的中点向右运动并进入。

在课堂上试试这个实验

Q1一个经2000 V电压加速的电子垂直进入1.5 mT的磁场。求它的速度和运动轨迹的半径。
Q2磁场为什么不会对运动电荷做功？
Q3证明圆周运动的周期与速度无关。对于回旋加速器，这有什么用？
Q4在一个速度选择器中，E = 20 kV/m，B = 0.05 T。速度为多少的粒子能够直线通过？
Q5质谱仪会使速度和电荷相同的离子在磁场中偏转。它是如何借此分离同位素的？

常见问题

点和叉号表示什么？

它们表示垂直于屏幕的磁场。点表示箭头尖端朝向你，因此磁场指向屏幕外。叉号表示远离你的箭头尾羽，因此磁场指向屏幕内。

磁力会向哪个方向推动？

对 v × B 使用右手定则；对于电子这类负电荷，则将方向反过来。在模拟中，紫色箭头始终指向圆心。

为什么质子的圆比电子的圆大得多？

质子的质量约为电子的1836倍。经过相同的加速电压后，质子的运动速度较慢，但其动量 mv 约大43倍，因此在相同磁场中，半径 r = mv / qB 也约大43倍。