電場和磁場中的帶電粒子

高中物理洛侖茲力 F = q(E + v × B)，使用守能的 Boris 方法積分；無重力、無輻射

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關於此實驗

電場會沿著電場線推動電荷，因此，在帶電極板之間射出的粒子會像橫向拋出的球一樣，沿拋物線彎曲運動。磁場的作用則更奇特：它施加的力與運動方向垂直，因此粒子的速率既不會變快也不會變慢，而是沿圓周運動。將電子、質子和 α 粒子射入電場和磁場，測量圓的半徑，並使兩種力平衡，從而建構一個速度選擇器。

學習目標

描述帶電粒子在均勻電場中的拋物線軌跡
解釋為什麼磁場會改變運動電荷的方向，卻不會改變其速率
使用 r = mv / qB 和 T = 2πm / qB 描述磁場中的圓周運動
解釋交叉的電場和磁場如何篩選出速度為 v = E / B 的粒子
比較電荷量和質量不同的粒子的運動軌跡

使用方法

1選擇「僅電場」，發射一個電子。它會向哪一邊偏轉？切換為質子。為什麼它會向相反方向偏轉？
2選擇「僅磁場」。用 10 cm 刻度尺測量圓的直徑，並與顯示的半徑比較。
3將磁場強度加倍。半徑會如何變化？週期會如何變化？
4將加速電壓提高至原來的四倍。半徑會改變多少？用 r = mv / qB 解釋。
5在相同的電壓和磁場下發射一個質子和一個 α 粒子。哪個圓比較大？
6選擇「速度選擇器」，讓粒子沿直線運動。現在只改變電壓。它仍會沿直線運動嗎？

模型

F = q (E + v \times B)

電荷 q 所受的洛倫茲力

q V = \frac{1}{2} m v^{2}

粒子通過加速電壓 V 後獲得的速度

r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}, T = \frac{2 π m}{∣ q ∣ B}

磁場中圓周運動的半徑和週期

y = \frac{q E}{2 m} (\frac{x}{v})^{2}

均勻電場中的拋物線偏轉

q E = q v B \Rightarrow v = \frac{E}{B}

交叉的電場和磁場只允許具有這一速度的粒子通過

假設

在長40 cm、寬30 cm的區域內，電場和磁場均勻分布；區域外場強為零。重力弱到不足以產生影響，因此忽略不計。
粒子的速度遠低於光速（在5000 V電壓下，電子的速度約為光速的14 %），因此採用古典力學。
使用鮑里斯法對粒子軌跡進行積分；在純磁場中，該方法能使速度嚴格保持不變。運動電荷也會輻射，但此處忽略。
每個粒子先由所選電壓從靜止狀態加速，然後從左側邊緣的中點向右運動並進入。

在課堂上試試這個實驗

Q1一個經2000 V電壓加速的電子垂直進入1.5 mT的磁場。求它的速度和運動軌跡的半徑。
Q2磁場為什麼不會對運動電荷做功？
Q3證明圓周運動的週期與速度無關。這對迴旋加速器有什麼用？
Q4在速度選擇器中，E = 20 kV/m，B = 0.05 T。速度為多少的粒子能夠直線通過？
Q5質譜儀會使速度和電荷相同的離子在磁場中偏轉。它是如何藉此分離同位素的？

常見問題

點和叉號代表什麼？

它們表示垂直於螢幕的磁場。點表示箭頭尖端朝向你，因此磁場指向螢幕外。叉號表示遠離你的箭頭尾羽，因此磁場指向螢幕內。

磁力會向哪個方向推動？

對 v × B 使用右手定則；對於電子這類負電荷，則將方向反過來。在模擬中，紫色箭頭始終指向圓心。

為什麼質子的圓比電子的圓大得多？

質子的質量約為電子的1836倍。經過相同的加速電壓後，質子的運動速度較慢，但其動量 mv 約大43倍，因此在相同磁場中，半徑 r = mv / qB 也約大43倍。